Kann es ein Polynom geben, deren Ableitung und es selbst keine Nullstellen haben?
Kann es ein Polynom geben, deren Ableitung und es selbst keine Nullstellen haben?
4 Antworten
Bei Polynomen mit ungeradem Grad, kann ich eine Zahl x groß genug wählen, sodass f(x) und f(-x) unterschiedliche Vorzeichen haben.
Dank Stetigkeit von Polynomfunktionen, ist [f(-x),f(x)] bzw. [f(x),f(-x)] enthalten ist in f([-x,x]) und da f(x) und f(-x) unterschiedliche Vorzeichen haben, ist 0 in [f(-x),f(x)] bzw. [f(x),f(-x)], also auch in f([-x,x]).
Somit gibt es ein a aus [-x,x], sodass f(a)=0, also gibt es eine Nullstelle.
Haben wir also eine Polynomfunktion zu einem Polynom mit ungeradem Grad gegeben, so gibt es eine Nullstelle für dieses Polynom und kann somit nicht das Gesuchte sein.
Haben wir eine Polynomfunktion f zu einem Polynom mit geradem Grad gegeben, dann hat das Polynom zu f' einen ungeraden Grad, also hat f' eine Nullstelle.
Also gibt es kein Polynom, das weder selbst einen Nullstelle hat, noch das Polynom zur Ableitung der Polynomfunktion zum Diesem.
wenn der Grad des Polynoms ungerade ist , dann gibt es immer eine Nullstelle, weil es auf der einen Seite gegen + , auf der anderen Seite gegen - unendlich geht.
.
Bleiben noch die P mit geradem Grad : Grad 4 , Ableitung Grad 3 , daher hat sie eine Nullstelle
Grad 2 (Parabel) , Ableitung Grad 1 (Gerade ) , die nicht parallel zur x-Achse ist , weil sie auf jeden Fall eine Steigung ungleich Null hat .
Sonst müsste die Ableitung f(x) = a sein , und deren Integral ist "nur" ax + C
Nein. Überlege mal, wie sich der Grad beim Ableiten verändert und ob es sein kann, dass ein Polynom ungeraden Grades keine reellen Nullstellen hat. Dann kombiniere diese beiden Überlegungen.
Kann es ein Polynom geben, deren Ableitung und es selbst keine Nullstellen haben?
Nein