wie kann man bei dieser funktion die punktsymmetrie beweisen?
ich weiß, dass bei der punktsymmetrie f(-x) = -f(x) sein muss, aber bei mir kommt da nichts passendes raus (würde es reichen, wenn man nur die grenzwerte und nullstellen bestimmt wenn diese punktsymmetrisch sind?)
2 Antworten
Die Funktion ist punktsymmetrisch.
f(–x) = 1 – 2 e^(–x) / (e^(–x) + 1)
= 2 e^x / (e^x + 1) – 1 = –f(x)
Denn es gilt
1 – 2 e^(–x) / (e^(–x) + 1)
= 2 e^x / (e^x + 1) – 1
<=>
1 – 2 / (e^x (1 / e^x + 1))
= 2 e^x / (e^x + 1) – 1
<=>
1 – 2 / (1 + e^x)
= 2 e^x / (e^x + 1) – 1
<=>
2 – 2 / (1 + e^x) = 2 e^x / (e^x + 1)
<=>
2 (e^x + 1) – 2 = 2 e^x
<=>
0 = 0
und das ist für alle x wahr.
Ist auch punktsymmetrisch (habe ich auch gezeigt). Am Anfang habe ich nur etwas falsches hingeschrieben, da ich ein anderes Ergebnis erwartet habe. Natürlich habe ich gezeigt, dass f(x) punktsymmetrisch ist.
Das ist natürlich eine gute Frage.
Als ich angefangen habe, diese Antwort zu schreiben, habe ich ein anderes Ergebnis erwartet (nämlich, dass keine Punktsymmetrie vorliegt).
Am Ende hat die Rechnung was anderes ergeben. Habe vergessen, die Aussage oben zu bearbeiten. Ist jetzt korrigiert. Danke für den Hinweis
Verwende folgende Umformung:
1 - 2*e^x/(e^x+1) = [e^x+1 - 2*e^x]/(e^x+1) = [1-e^x]/(1+e^x) = [e^(-x) - 1]/ [e^(-x)+1]
wenn ich die umformung der anderen antwort nehme, kommt f(-x)=-f(x) raus, da ist es also punktsymmetrisch? und in der gestellten aufgabe sollte man zeigen dass und nicht ob es punktsymmetrisch ist, weshalb ich angenommen hab dass es punktsymmetrisch sein muss