Wie kann der Sinus von 90 Grad 1 und der Kosinus 0 betragen?
HAllo liebe Community, gerade behandeln wir in Mathe das Thema Trigonometrie. In der letzten Stunde ging es dann um die cos./tan./sin.-Werte von 90 Grad, dabei wurde festgehalten, Sinus von 90 Grad beträgt 1 und Kosinus 0 und Tangenz ist nicht definierbar. Meiner Meinung nach kann aber keine der drei Größen/Einheiten definierbar sein, denn wenn man sich ein rechtwinkliges Dreieck vorstellt und in diesem beispielweise den Sinusvon dem 90 Grad Winkel errechnen will, woher weiß man dann, was die Ankatete und was die Gegenkatete zum rechten Winkel ist? Falls jmd meine kompliziert formulierte Frage verstanden hat und sie mir sogar noch beantworten könnte, dann wäre das super. Danke schonmal
7 Antworten
Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, bei der eine der Katheten, nennen wir sie a, genauso lang wie die Hypotenuse ist. Nach dem Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) muss dann die andere Kathete die Länge 0 haben, da a = c. Der Winkel α ist 90°, der Winkel β 0°. Da der Sinus eines Winkels als Gegenkathete zu Hypotenuse definiert ist, so ist natürlich für den Winkel α der Sinus 1, da bei gleicher Länge von a und c der Term a / c zu 1 wird. Entsprechendes gilt für den Cosinus: Da b = 0 wird b / c auch zu 0, daher gilt also cos(90°) = 0.
Ich bitte, dies "cum grano salis" zu nehmen, denn genau genommen gibt es natürlich kein Dreieck mit zwei Winkeln von 90°; es handelt sich um einen Grenzfall. Was ich gesagt habe war daher nicht im streng mathematischen Sinne gemeint, sondern erfolgte nur aus Gründen der Veranschaulichung.
Die mathematisch korrekte Erklärung läuft sicherlich über den Einheitskreis, wie schon vielfach erklärt. Wenn man den aber nicht kennt, kann man sich das Ganze mit quasi "entarteten Dreiecken" vorstellen:
Gäbe es ein rechtwinkliges Dreieck, das außer dem Winkel Gamma = 90° noch einem zweiten rechten Winkel Alpha hätte, so hätten in diesem seltsamen Dreieck die Gegenkathete zu Alpha und die Hypotenuse beide die gleiche Länge x. x/x ist aber immer 1.
Wenn man jetzt nicht unendliche Längen für die Hypotenuse und die Gegenkathete zulassen will, müsste in diesen seltsamen Dreieck die Ankathete zu Alpha die Länge 0 haben. Der Cosinus würde sich dann also zu 0/x errechnen, was immer 0 ergibt.
Aber, wie gesagt, dass ist eine Veranschaulichung und mathematisch nicht ganz korrekt!
Ja, und wenn man das dann gedanklich immer weiter Richtung 90° / 90° / 0° verschiebt, kommt man quasi als Grenzwerte auf sin(90°) = 1 und cos(90°) = 0.
Hallo,
ich probiere mal deine Frage zu verstehen. Ich vermute, ihr habt Sinus und Cosinus an Hand eines rechtwinkligen Dreiecks definiert. Das funktioniert nur für Winkel < 90 Grad, da die Winkelsumme im Dreieck 180 ist und ein Winkel schon 90 braucht.
Schau mal hier http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Geometrische_Definition Da wird erklärt, wie es am Einheitskreis definiert werden kann. Das funktioniert dann auch für größere Winkel. ;)
In dem Fall, wo man von sin(90°) sprechen würde, ist das Dreieck "unendlich spitz". Es hat zwei 90°-Winkel und einen 0°-Winkel. Das ist ein Grenzfall. Man kann, wenn man will, sagen, daß es ihn und dieses u nendlich spitze Dreieck nicht "wirklich" gibt, aber dieser Grenzfall paßt nahtlos in die Folge aller Dreiecke und in die damit verbundenen Sinus- und Kosinuskurven.. Will man den Grenzfall nicht akzeptieren, dann muß man an den btr. Stellen in den Kurven eben ein Loch lassen. Aber wieso sollte man?
Das Problem tritt überhaupt nicht auf, wenn man den Einheitskreis für die Definition nimmt. Wie definierst du denn sin/cos für Winkel größer 90 Grad?
Ja, und ich versuche in solchen Fällen bewußt nicht da zu helfen, wo das Problem nicht auftritt, sondern da, wo es auftritt. Lernende Gehirne befassen sich nunmal gern mit Problemen, oder dem, was sie so wahrnehmen und lassen erst von ihnen ab, wenn es gelungen ist, sie zu Nicht-Problemen zu transformieren :-)
Wie ich sin/cos für Winkel größer 90 Grad definiere? Über Symmetrieabbildungen und/oder über die Taylorreihe.
Meiner Meinung nach kann aber keine der drei Größen/Einheiten definierbar sein, denn wenn man sich ein rechtwinkliges Dreieck vorstellt
Solange ihr die Winkelfunktionen nur am rechtwinkligen Dreieck definiert habt, hast du recht.
Man erweitert dann die Definition der Winkelfunktionen durch die Definition am Einheitskreis.
- Falls ihr die Def. am Einheitskreis schon hattet, schaus dir nochmal an.
- Falls nicht, nimms als Vorgriff auf etwas, was ihr demnächst noch lernen werdet.
Aber der Einheitskreis baut doch auch auf dem rechtwinkligen Dreieck auf...
Was meinst du mit deiner Aussage?
Ein Dreieck hat drei Ecken, das sagt ja schon der Name. Wenn einer der Winkle 0° hätte, dann wäre es kein Dreieck. Sonst hätte nämlich die gegenüberliegende Seite die Länge 0, zwei Punkte würden zusammenfallen, und wir hätten dann gar kein Dreieck. Eine Dreiecksseite kann nicht die Länge 0 haben, erst recht kann sie nicht negativ sein
In einem Dreieck kann es also keinen 0° Winkel geben und auch keine zwei mit 90°. Folglich ist sin(α) nur für 0°<α<90° definiert, solange der Sinus nur übers rechtwinklige Dreieck definiert ist.
Am Einheitskreis wird der Sinus definiert als Verhältnis der Ordinate (= y-Koordinate) zum Radius. Im Gegensatz zu einer Dreiecksseite kann die y-Koordinate aber sehr wohl gleich 0 und sogar negativ sein. Genauso kann ich dann auch sin(90°) bestimmen. Dass das Dreieck da verschwunden ist, muss mich nicht stören, denn ich verwende Ordinate/Radius und eben nicht Gegenkathete/Hypotenuse (letzteres existiert für α=90° nicht, weil wir dann erst gar kein Dreieck hätten und also auch keine Katheten und keine Hypotenuse!). Entsprechend kann ich den Sinus sogar für α>90° definieren und kann sogar auch negative Werte für den Sinus erhalten, was bei einem rechtwinkligen Dreieck ganz unmöglich wäre.
Nur für 0°<α<90° fallen beide Definitionen zusammen, denn da kann ich den Radius als Hypotenuse und die Ordinate als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks betrachten. Und darum ist es ja auch eine Erweiterung der ursprünglichen Definition.
Ein Dreieck hat drei Ecken, das sagt ja schon der Name. Wenn einer der Winkle 0° hätte, dann wäre es kein Dreieck. Sonst hätte nämlich die gegenüberliegende Seite die Länge 0, zwei Punkte würden zusammenfallen, und wir hätten dann gar kein Dreieck. Eine Dreiecksseite kann nicht die Länge 0 haben, erst recht kann sie nicht negativ sein. In einem Dreieck kann es also keinen 0° Winkel geben und auch keine zwei mit 90°.
Wenn das so ist, wie Du hier sagst – was sollen wir dann erst darüber sagen, wie in den Lehrbüchern der Oberstufe mit dem wehrlosen Steigungsdreieck umgesprungen wird? Ohne zu fragen, ob die Alltagsanschauung damit einverstanden ist, macht es da Zippzapp!, und ehe man sich umkuckt ist aus dem Diffenzenquotienten plötzlich ein Differentialquotient geworden, auf einmal haben alle drei Dreiecksseiten irgendwie die Länge Null, aber irgendwie auch nicht alle dieselbe Null, und es fallen alle drei Punkte des Dreiecks zusammen. Ein Nichts von einem Dreieck, und mit diesem Nichts hat Isaac Newton die Bahnen des unseres Planetensystems erklärt. Ist diese ganze Differential- und Integralrechnung nicht schierer Humbug? :-D
Wenn das so ist, wie Du hier sagst – was sollen wir dann erst darüber sagen, wie in den Lehrbüchern der Oberstufe mit dem wehrlosen Steigungsdreieck umgesprungen wird?
OMG! Beim Steigungsdreieck werden die Differenzen der Koordinaten vewendet und nicht einfach die Länge einer Dreiecksseite.
Und im Sonderfall der Steigung 0 liegt in der Tat kein Dreieck vor. Ein Dreieck kann nicht eine Seite der Länge ≤0 haben, dagegen ist Δy=0 durchaus kein Problem, eben sowenig Δy<0.
- Im Steigungsdreieck wird mit Differenzen von Koordinaten gerechnet und nicht mit Seitenlängen.
- Δy ist nicht die Länge der senkrechten Seite des Steigungsdreiecks. Diese Länge wäre vielmehr |Δy|.
- Dass das Ding "Steigungsdreieck" heißt hindert nicht, dass im Falle Δy=0 eben kein Dreieck vorliegt.
Ohne zu fragen, ob die Alltagsanschauung damit
Es ist dir freigestellt, die Definition eines Dreiecks nachzuschlagen. Du wirst feststellen, dass es -überraschung!- drei Ecken hat.
Zippzapp!,
Wie alt bist du? Zwölf?
Zippzapp!, und ehe man sich umkuckt ist aus dem Diffenzenquotienten plötzlich ein Differentialquotient geworden, auf einmal haben alle drei Dreiecksseiten irgendwie die Länge Null,
Es mag sein, dass es ab und an in deinem Kopf "Zippzapp" macht. Bei mir ist es der Limes, durch welchen aus dem Diffenzenquotienten "plötzlich" der Differentialquotient wird.
auf einmal haben alle drei Dreiecksseiten irgendwie die Länge Null,
Du hast den Grenzwertbegriff nicht verstanden.
aber irgendwie auch nicht alle dieselbe Null, und es fallen alle drei Punkte des Dreiecks zusammen.
Du hast den Grenzwertbegriff nicht verstanden.
Ist diese ganze Differential- und Integralrechnung nicht schierer Humbug?
Nein, nur dein Kommentar.
- Schau dir nochmal an, was ein Grenzwert ist.
- Gehe sorgfältiger mit Definitionen um.
- Unterscheide "Länge" von Koordinatendifferenzen bzw gerichteten Größen (Vektoren).
- Mach dir klar, dass "Länge" stets eine nicht-negative Größe ist (bei Vektoren: Betrag des Vektor - schau dir die Betragsfunktion an!).
PS: Hinweise darauf, dass Newton und Lebniz infinitesmale Zahlen statt Grenzwerte verwendeten, kannst du dir sparen. Es geht hier einfach um Dreiecke (und die Definition der Winkelfintionen). Und bis drei zählen sollte man können.
Du kannst Sinus und Kosinus in einem rechtwinkligen Dreieck nur dann anwenden, wenn dem zu berechnenden Winkel der rechte Winkel gegenüberliegt. Man kann den Sinus für 90° also nicht einfach aus dem Dreieck berechnen, weil ihm kein rechter Winkel gegenüberliegt.
Dazu muss man anders vorgehen. Das wurde hier aber schon genannt. Das entscheidende Stichwort ist "Einheitskreis". Lies einfach mal (z.B. bei Wikipedia) nach.
OKay dankeschön, ja ich schätze den einheitskreis werden wir noch in der schule behandeln!
Okay, dankeschön das hilft mir wirklich es mir bildlich vorzustellen, annäherungsweise kann man sich das ja bei einem dreieck mit den winkelgrößen 90 grad, 89 grad und 1 grad vorstellen :)