Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto 6 aus 49 mindestens zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen werden?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto 6 aus 49 mindestens zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen werden?
6 Antworten
Die Frage lässt sich beantworten, wenn man die Anzahl der Ziehungen ohne Paare kennt. Dazu kann man folgenden Trick anwenden:
Kurzfassung: Nimm eine Ziehung „6 aus 49 ohne Paare“ und verkleinere die 5 Abstände zwischen den Zahlen um 1. Dann hast Du eine Ziehung „6 aus 44“. Diese Abbildung ist bijektiv. Also gibt es genauso viele Ziehungen „6 aus 49 ohne Paare“ wie Ziehungen „6 aus 44“ insgesamt.
Etwas formaler:
Sei (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆) eine sortierte Ziehung mit 1≤aⱼ≤49 („6 aus 49“) und aⱼ+1<aⱼ₊₁ („ohne Paare“). Dann:
- (b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆):=(a₁, a₂–1, a₃–2, a₄–3, a₅–4, a₆–5) ist eine sortierte Ziehung „6 aus 44“. (Zeige dazu: b₆≤44 und bⱼ<bⱼ₊₁).
- Für jede Ziehung (b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆) mit 1≤bⱼ≤44 und bⱼ<bⱼ₊₁ („6 aus 44“ ) ist (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆):=(b₁, b₂+1, b₃+2, b₄+3, b₅+4, b₆+5) eine sortierte Ziehung „6 aus 49 ohne Paare“. (Zeige dazu a₆≤49 und aⱼ+1<aⱼ₊₁).
Fazit:
Alle 6 aus 49: ⠀ 13983816 = 49!/(43!·6!)
" ohne Paare:⠀ ⠀ 7059052 = 44!/(38!·6!)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit 1-7059052/13983816≈0.4952.
So müsste es richtig sein:
Erste Ziehung 49 Möglichkeiten, zweite 47, dritte 45 usw. am Ende durch 6!
Das ergibt die Anzahl der Möglichkeiten ohne doppelte
Demnach wäre bei fast jeder 3. Ziehung mindestens ein Pärchen dabei. Das kommt schon eher hin.
Stimmt auch nicht. Heute ist nicht mein Tag ...
Ich habe folgendes gefunden:
http://www.brefeld.homepage.t-online.de/stochastik-formeln.html
Beispiel 21 (Aufeinanderfolgende Zahlen bei Lotto 6 aus 49)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto 6 aus 49 mindestens zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen werden?
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine aufeinanderfolgenden Zahlen gezogen werden, ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten (Kombinationen ohne Wiederholung), in die Lücken zwischen den 43 nicht gezogenen Zahlen (insgesamt gibt es 44 Lücken einschließlich Anfang und Ende) jeweils höchstens eine gezogene Zahl zu platzieren, geteilt durch die Anzahl der Möglichkeiten für 6 Richtige. Für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen werden, gilt dann:
P = 1 – (446) / (496) = 1 – (44! / (6!·38!)) / (49! / (6!·43!)) = 1 – 7.059.052 / 13.983.816 = 1 – 22.919 / 45.402
P = 1 – 0,504802 = 0,495198 = 49,5198%
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 49,5198% gibt es also bei einer Ziehung mindestens zwei aufeinanderfolgende Lottozahlen.
[...]
1. Beispiel: Keine aufeinanderfolgenden Lottozahlen
Hier darf sich zwischen zwei nicht gezogenen Lottozahlen höchstens eine gezogene Lottozahl befinden. Ebenso vor der ersten und nach der letzten nicht gezogenen Lottozahl.
Bei 43 nicht gezogenen Lottozahlen gibt es 44 solcher Lücken (eine am Anfang, 42 dazwischen und eine am Ende).
Wenn man eine Lücke ohne gezogene Lottozahl mit "0", eine mit einer Lottozahl mit "1" und eine mit zwei Lottozahlen mit "2" bezeichnet, entsteht immer eine Zifferfolge mit 44 Ziffern.
00000010000110000000000000010000000100000001 zum Beispiel entspricht immer eineindeutig den Lottozahlen 7, 13, 15, 31, 40, 49.
Wenn es keine aufeinanderfolgen Lottozahlen gibt, enthält die Ziffernfolge immer genau 38 Nullen und 6 Einsen.
Wenn man von dieser Ziffernfolge alle Permutationen mit Wiederholung berechnet, erhält man also alle Lottozahlenkombinationen ohne aufeinanderfolgende Lottozahlen.
Anzahl der Permutationen mit Wiederholung: 44! / (38!·!6!) = 7.059.052
So geht's natürlich auch :-)
Mein allererster Computer hätte das ruck-zuck in wenigen Stunden berechnet.
Und mit den damals zur Verfügung stehenden Programmiersprachen wäre das mit Sicherheit kein 5-Zeiler gewesen. Wir müssen uns wohl damit abfinden, das wir langsam in die Jahre kommen.
Wie hast du die Auswertung über alle Ausspielungen seit 1955 gemacht?
- CSV von https://www.lottozahlenXXXonline.com/6aus49/lottozahlen_archiv.csv herunterladen (ohne XXX, aber dann meckert der Editor hier über einen unzulässigen Link)
- sed 's|.*00Z,\([0-9]*\)-\([0-9]*\)-\([0-9]*\)-\([0-9]*\)-\([0-9]*\)-\([0-9]*\).*|\1 \2 \3 \4 \5 \6|' lottozahlen_archiv.cs > lotto.txt
- und dann
#!/bin/env python3
count = [0, 0, 0]
with open("lotto.txt") as file:
for line in file:
try:
draw = [int(s) for s in line.split()]
dist = min(draw[i+1]-draw[i] for i in range(5))
count[ min(dist, 2) ] += 1
except Exception as e:
print("error", line.strip(), e)
print( sum(count), *count )
Danke. Ich hatte nur komplizierte Excel-Dateien gefunden, die aufwendig aufzudröseln waren.
günstige Ereignisse = 48 * (47 über 4)
mögliche Eriegnisse = (49 über 6)
Erklärung: es gibt 48 Pärchen die die Bedingung erfüllen (1 2), (2 3), ..., (48 49). Dann sind 49-2 Zahlen Rest und die können auf 4 Stellen angeordnet werden.
Insgesamt gibt es 49 Zahlen die auf 6 Stellen angeordnet werden können.
Fast.
Ohne die Randbedingung wäre es
(49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44)/(6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Mit der Randbedingung wählst du eins der 48 Paare und setzt dann noch 4 Zahlen dazu. Am Ende musst du noch durch 6! teilen (wegen der nicht berücksichtigten Reihenfolge)
Also (48 * 47 * 46 * 45 * 44)/(6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Dann kommt unterm Strich als Wahrscheinlichkeit 1/49 also ca. 2% heraus.
Die Praxis zeigt allerdings, dass das ständig auftritt und Ziehungen ohne zwei aufeinanderfolgende Zahlen eher die Ausnhame sind.
Du hast recht, wenn man auf https://www.lotto.de/lotto-6aus49/lottozahlen die letzten Ziehungen anschaut, ist das deutlich mehr als 2%. Dann kann die Formel so nicht stimmen. Wer findet den Fehler?
Es ist nicht berücksichtigt, dass auch in den verbleibenden vier Zahlen noch Pärchen sein können. Etwas in die Richtung. Man muss über die Gegenwahrscheinlichkeit gehen.
Habe das mal in einer neuen Antwort vorgerechnet. Hoffe, da ist kein Fehler im Ansatz dabei.
Grundüberlegung: die Reihenfolge spielt keine Rolle. Ob zuerst die höhere und dann die niedrige Zahl gezogen wird oder umgekehrt, kommt aufs selbe hinaus. Deswegen reicht es, immmer zuerst die niedrige Zahl zu betrachten und dann zu überlegen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die nächst höhere Zahl dazu kommt.
Spielen wir das ganze mal durch:
Erste Zahl: Hier kann jede beliebige Zahl kommen außer der 49, denn die hat keine nächsthöhere Zahl.
Zweite Zahl: Nachdem schon eine Zahl gezogen wurde, stehen noch 47 Zahlen zur Verfügung, die Sinn machen. Dass die Folgezahl zur ersten Zahl kommt ist zu 1/47 wahrscheinlich. Da aber nach der ersten Zahl noch 5 gezogen werden, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit auf 5/47
Dritte Zahl: die Wahrscheinlichkeit, dass die Folgezahl zur ersten Zahl kommt, beträgt 4/46. Da es aber schon zwei Zahlen gibt, die eine Folgezahl haben können, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit auf 4/47 * 2
Vierte Zahl: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Folgezahl zu den ersten drei gezogen wird, beträgt 3/45 * 3
Fünfte Zahl: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Folgezahl zu den ersten vier gezogen wird, beträgt 2/44 * 4
Sechste Zahl: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Folgezahl zu den ersten fünf gezogen wird, beträgt 1/43 * 5
Nun rechnen wir zusammen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass zwei aufeinanderfolgende Zahlen kommen beträgt:
5/47 + 4/46 * 2 + 3/45 * 3 + 2/44 * 4 + 1/43 * 5 = 0,79 = 79%
Bei 22 Ziehungen seit Anfang März beträgt der Erwartungswert also
22 * 0,79 = 17,38
Tatsächlich gabs zwei Folgezahlen bei diesen 22 Ziehungen genau 17 mal.
Ich glaube nicht, dass das stimmt. Schon für die 2. Zahl stehen noch 48 Zahlen zur Verfügung, denn hier ist die 49 nicht mehr tabu. Irgendwie vermischst Du in Deiner ganzen Herleitung das Ziehen der Zahlen in ihrer Reihenfolge mit dem gezogenen 6er-Satz, der dann in die Reihenfolge gebracht wird. Du kannst ja im 1. Schritt auch die 49 haben und im 2. Schritt die 48 kriegen.
Schon für die 2. Zahl stehen noch 48 Zahlen zur Verfügung, denn hier ist die 49 nicht mehr tabu.
Die 49 steht wohl zur Verfügung als Folgezahl. Dafür steht bei den Folgezahlen aber die 1 nicht mehr zur Verfügung, sodass egal wie rum man es betrachtet, von den verbleibenden Zahlen immer eine am Rand wegfällt.
Du kannst ja im 1. Schritt auch die 49 haben und im 2. Schritt die 48 kriegen.
Das ist zwar richtig, aber wenn am Ende 48, 49 dasteht, spielt es keine Rolle, welche der beiden Zahlen zuerst gezogen wurde. Wenn ich beide Möglichkeiten berücksichtigen würde, also erst 48 und dann 49 sowie umgekehrt, würde ich das doppelte Ergebnis für nur eine Möglichkeit erhalten. Ich müsste also am Ende die doppelten Möglichkeiten wieder abziehen. Das erspare ich mir, indem ich sie von vornherein erst gar nicht zulasse.
Schau Dir mal den link von Willy1729 an. Das habe ich gemacht und als korrekt empfunden. Zu deiner Herleitung bleibt mein mittlerer Satz bestehen, nachdem Du richtigerweise meinen 1. und letzten Satz zerpflückt hast.
Die letzten 22 Ziehungen sind nicht repräsentativ: Schon direkt davor gab es mehrere Ziehungen ohne Paare.
Meine Auswertung aus allen Ziehungen seit 1955 ergibt 2416 Ziehungen mit Paar(en) und 2243 ohne.
Hatte dir Statistikseite besucht, konnte aber keine Auswertung betreffs Folgepaaren finden.
Zitat aus dem Internet :
Tatsächlich beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von zwei benachbarten Zahlen („Zwillinge“) bei einer Lotto-Ziehung ungefähr 50 %, d. h. bei etwa jeder zweiten Ziehung taucht mindestens ein Zwilling auf.
Den genauen Rechenweg findest du hier :
Die genau Wahrscheinlichkeit liegt gerundet bei 49,52 %
Diesem Ergebnis widerspricht die Praxis und ehrlich gesagt, kann ich diese Rechnung auch nicht so ganz nachvollziehen. Da scheint mir meine Rechnung einfacherer und treffsicherer zu sein.
Schau mal hier :
http://www.brefeld.homepage.t-online.de/stochastik-formeln.html
Diese Webseite kommt auch zu dem Ergebnis 49,5198 %
Ich kann dir noch mehr Webseiten zeigen, die zu demselben Ergebnis kommen, wenn nötig.
Schaue dir bitte auch die Antwort von ralphdieter an.
Habe die Seite (Link in deiner Antwort) gelesen, bin aber dabei auch darüber gestolpert, dass an meherern Stellen darauf hingewiesen wird, dass die vorgeführten Rechnungen problematisch seien, womöglich Zählfehler enthalten und auch nur bedingt übertragbar sind.
Wo bei meiner Herangehensweise methodische Fehler seien, ist mir dadurch ebenfalls nicht klar geworden, obwohl ich die nicht ausschließen mag.
Ich persönlich habe mich gar nicht erst an die Rechnung gewagt.
Wenn ich das Ergebnis wissen wollen würde, dann würde ich mir eine Monte-Carlo-Simulation programmieren und mit sogenannten Pseudozufallszahlen das ungefähre Ergebnis ermitteln lassen.
Klasse Idee. Simulationen können so manchen Knoten in den Hirnwindungen umgehen. Die Rechnung dorten habe ich allerdings ebenfalls nicht nachvollzogen. Spannend wird noch die Antwort von ralphdieter über seine Auswertung der Ziehungsergebnisse seit 1955. In dem verlinkten Artikel steht ja auch sinnigerweise, manchmal müsse man zuerst das Ergebnis kennen, bevor es gelingt, eine Herleitung führen.
Wenn alle Stricke reißen, nimmt man den Computer (Python):
Ergebnis: 7059052
7059052/13983816 = 0.5048
50,48 % ohne Paare, entsprechend 49,52 % mit Paaren