Wie groß ist der Erwartungswert für den Gewinn?
Der Lehrer hat es uns im Videokonferent erklärt, aber ich bin trotzdem durcheinander gekommen, kann mir jemand bitte helfen:) Aus einer urne werden mit Zurücklegen drei Kugeln gezogen. Der Einsatz beträgt 50 Cent. Die Tabelle zeigt den Auszahlungsplan. Wie groß ist der Erwartungswert für den Gewinn?
3 Antworten
Formel E(x)=0Cent*P1+10 Cent*P2+50 Cent *P3+200 Cent *P3
1 Schritt:Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergeignisse berechnen
P1 Wahrscheinlichkeit,dass keine gelbe Kugel kommt
P1 Wahrscheinlichkeit,dass eine gelbe Kugel kommt
P2 Wahrscheinlichkeit,dass zwei gelbe Kugeln kommen
P3 Wahrscheinlichkeit,dass drei gelbe Kugeln kommem
2 Schritt:eine Gewinntabelle aufstellen mit den einzelnen Wahrscheinlichkeiten
Gewinn → 0 Cent 10 Cent 50 Cent 200 Cent
P → P1 P2 P3 P4
P1(keine gelbe Kugel)=3/5*3/5*3/5=(3/5)³=0,216 → 21,6 % ist nur 1 Pfad
P2 hier gibt es 3 Pfade
P2(1)=2/5*3/5*3/5=2/5*(3/5)²=0,144 → 14,4 %
P2(2)=3/5*2/5*3/5)=0,144
P2(3)=3/5*3/5*2/5)=0,144
Gesamtwahrscheinlichkeit P2(ges)=0,144+0,144+0,144=3*0,144=0,432
Wahrscheinlichkeit für 2 gelbe Kugeln
P3(1)=2/5*2/5*3/5)=0,096 → 9,6 %
P3(2)=2/5*3/5*2/5=0,096
p3(3)=3/5*2/5*2/5)=0,096
Gesamtwahrscheinlichkeit P3(ges)=0,096+0,096+0,096=3*0,096=0,288
Wahrscheinlichkeit für 3 gelbe Kugeln (nur 1 Pfad)
P4=2/5*2/5*2/5=(2/5)³=0,064 → 6,4%
Werte eingesetzt
E(x)=0*0,216+10 Cent*0,432+50 Cent*0,288+200 Cent*0,064=31,52 Cent
Prüfe auf rechen- und Tippfehler.
Vielen Dank, dass Sie sich so viel Zeit genommen haben. Es hat mir sehr geholfen:)
Also gewinne ich durchschnittlich 31,52 Cent? Ich hab noch eine Frage: Ich habe gerade alles nachgerechnet, irgendwo muss ich mich verrechnet haben. Ich habe drei Antworten bekommen, aber drei verschiedene Ergebnisse🤔
achso, also 31,52-50=-18,48Cent. Also verliere ich durchschnittlich 18,48 Cent.
Ich habe da einen Fehler gemacht.
Der Einsatz beträgt 50 Cent. Diese 50 Cent sind weg,wenn keine gelbe Kugel kommt
also E(x)=-50*0,216+10*0,432+50*0,288+200*0,064=20,72 Cent
In der Tabelle Auszahlung mußt du die verlorenen -50 Cent eintragen,dort wo keine Auszahlung erfolgt,bei Wahrscheinlichkeit "keine gelbe Kugel"
Ich habs nicht so mit den Wahrshceinlichkeitsformeln und so, daher würde ich mir das anhand eines Baumdiagramms klarmachen.
Es sind offensichtlich 2 gelbe von max. 5 kugeln vorhanden, also die einfache Wahrshceinlichkeit für ne gelbe Kugel ist 2/5.
Wegen zurücklegen ändert sich diese auch nicht im Laufe der Züge.
Nun würde ich mir ein skizzenhaftes Baumdiagramm zeichnen, es gibt an jedem Knoten nur 2 Pfade:
gelbe Kugel-2/5 wahrshceinlichkeit
nicht gelb 3/5 Wahrscheinlichkeit
bei 2 möglichen Ereignissen und 3 mal ziehen gibt es insgesamt 2^3=8 mögliche pfade durch den baum.
Namentlich: (und dhainter die jeweilige auszahlung, reduziert um den stets nötigen einsatz von 50 cent; sowie die wahrscheinlichkeit):
nnn -50 (3/5)^3
nng -40 (3/5)^2*2/5
ngn -40 (3/5)^2*2/5
ngg 0 3/5*(2/5)^2
gnn -40 (3/5)^2*2/5
gng 0 3/5*(2/5)^2
ggn 0 3/5*(2/5)^2
ggg 150 (2/5)^2
nun musst du für jedes ereignis wahrscheinlichkeit mal auszahlung rechnen und die alle addieren.
um arbeit zu sparen, fassen wir gleiche ereignisse (heißt alles mit 0,1,2 oder 3 gelben, jeweils zusammen)
ergibt insgesamt:
1*(-50)*(3/5)^3+3*(-40)*(3/5)^2*2/5
+3*0*3/5*(2/5)^2 +1*150 (2/5)^2
Das kannst du nun von Hand oder mittels eines Taschenrehcners ausrechnen.
Das Ergebnis ist jedenfalls der Erwartungswert.
Falls >0, machst du im Durchschnitt, bei sehr vielen Spielen, gewinn, bei <0 Verlust.
Ich hab auch mit Baumdiagramm angefangen. Vielen Dank für deine Antwort:)
Ich habe gerade alles nachgerechnet, irgendwo muss ich mich verrechnet haben: Ich habe drei Antworten bekommen, aber drei verschiedene Ergebnisse🤔
Den Erwartungswert erhältst du, indem du die möglichen Gewinne mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizierst und diese Produkte dann summierst. Die Wahrscheinlichkeiten kannst du einfach aus einem Baumdiagramm ermitteln.
In diesem Fall also:
E(X) = -0.5€ (der Einsatz) + 27/125 *0€ + 54/125* 0.1€ +36/125*0.5€ +8/125*2€ = -0.1848€
Da der Erwartungswert hier negativ ist, machst du,statistisch gesehen, also ca. 18 ct Verlust pro Spiel.
Vielen Dank für deine Antwort:) Ich hab noch eine Frage: Ich habe gerade alles nachgerechnet, irgendwo muss ich mich verrechnet haben. Ich habe drei Antworten bekommen, aber drei verschiedene Ergebnisse🤔
Und jetzt noch beachten, dass man pro Spiel 50 ct Einsatz bezahlen muss.