Wie berechnet man den Erwartungswert bei folgender Aufgabe?
Hallo Ich verstehe diese Matheaufgabe gerade irgdendwie nicht. Könnte mir jemand bitte helfen? Vielen Dank im voraus. Aufgabe: es werden zwei Kugeln ohne zurücklegen aus der Urne gezogen. Die Zufallsgröße X ist die Augensumme der Zahlen auf den gezogenen Kugel. Bestimmen sie den Erwartungswert sowie die Standardabweichung. In der Urne befinden sich insgesamt 6 Kugeln. Es gibt jeweils 4 Kugeln mit der Ziffer 1, eine Kugel mit der Ziffer 2 und eine Kugel mit der Ziffer 2. Vg
4 Antworten
insgesamt Punkte auf den 6 Kugeln: 1+1+1+1+2+5 gibt 11 als Gesamtwert.
Ziehe ich eine Kugel, hat die den Durchschnittswert 11/6 = 1,833.. (Erwartungswert?)
Die nächste Kugel ebenso, so dass statistisch mit 2 Kugeln 3,666.. "entnommen wurden".
Das mache ich noch zwei mal und habe 11 Punkte entnommen und keine Kugel ist mehr in der Urne.
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz:
Die Varianz gibt die mittlere quadratische Abweichung der Ergebnisse um ihren Mittelwert an. Um dies zu tun, nehmen wir wieder unsere sechs Werte vom Anfang (also 1, 1, 1, 1, 2 und 5 ) und ziehen von diesen jeweils den Durchschnitt (1,8333...) ab. Dies müssen wir dann jeweils quadrieren (hoch 2) und die Summe bilden. Am Ende teilen wir noch durch die Anzahl der Werte, die wir ursprünglich genommen hatten, sprich wir teilen wieder durch 6.
also (1 - 1,833..) hoch 2 = 0,6944444... das haben wir vier mal sind 2,7777...
dann 2 - 1,833.. hoch 2 = 0,02777... haben wir nur einmal
und noch 5 - 1,833... hoch 2 gibt 10,02777.. auch nur einmal
jetzt zählen wir 2,777... und 0,02777... und 10,02777.... zusammen:
ergibt 12,8333... was wir noch durch die Anzahl 6 teilen müssen.
ergibt 2,13888... (das ist die Varianz)
Und die Standardabweichung ist die Wurzel daraus, nämlich 1,462
Ob das mit den 2 Kugeln und ohne zurücklegen etwas an der Rechnung ändert, kann ich nicht sagen!
Du musst herausfinden, welche Kugel Kombination mit welcher Wahrscheinlichkeit gezogen werden..
Folgendes Vorgehen:
Es gibt nur die drei möglichen Ergebnisse: 2, 3, ???
Was war jetzt die dritte Kategorie ? - tasächlich 2 ?
dann mache Dir klar, wie groß die Wahrscheinlichkieten fürm die drei Ergebnisse sind
dann wende einfach die Formel des Erwartungswertes an: E = 1* P(x=1) + 2* P(x=2) + ?*P(x=?)
aha, die dritte Kategorie ist also 5 ??
Dann gibt es 4 mögliche Ereignisse: 2, 3 , 6 und 7
Du widerholst daß was Du oben schon gesagt hast: Du mußt Dir die Ereignisse 2, 3, 6, 7 ansehen und überlegen wie sie zusatnde kommen können und dann über die Wkt nachdenken für dieses Zustandekommen
aber was ist mit dem Aspekt, dass das ganze ohne zurücklegen passiert
das baust Du in die Wahrscheinlichkeiten ein; das ist die Hauptarbeit bei dieser Aufgabe
Ich habe als Erwartungswert 2,083 raus. Ist das richtig?
ich erklär es mal exemplarisch:
Ergebnis 2: P(1.Zug = 1) *P(2.Zug =1) = 4/6 * 3/5 = 12/30 = 2/5
Ergebnis 3: P(1.Zug = 1) * P(2.Zug = 2) =4/6 * 1/5 = 4/30 = 2/15
usw.
Mein quick-and-dirty Berechnung ergibt einen Erwartungswert von 4/3.
Standartabweichung = Wurzel(1/3)
Lösung über Baumdiagramm
Man kann entweder die 1,2 oder 5 ziehen. Also die 1 ist ja vier mal vorhanden und die anderen jeweils nur einmal.