Wie berechnet man die x- und y-Werte von Sinus- und Kosinusfunktionen?
Zum Beispiel die Nullstellen für die Kosinusfunktion im Intervall [-5pi; 2pi].
Oder alle Punkte mit kleinstem Funktionswert für sin (x) mit x E [pi; 7pi].
2 Antworten
Der Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist ja definiert als "Gegenkathete : Hypothenuse" des Winkels. Spezielle Werte des Sinus erkennst du am besten im Einheitskreis, weil dort die Hypothenuse stets 1 ist, also Sinus = Gegenkathete : Hypothenuse = Gegenkathete : 1 = Gegenkathete. Man kann da also den Sinus direkt als Länge der senkrechten Kathete ablesen.
Ebenso für den Kosinus, mit Ankathete statt Gegenkathete.
Der kleinste Wert des Sinus ist offenbar –1.
Demnach gilt für α ∈ [ 0; 2π [ : sin α = –1 ⇔ α = 3π/2.
Für α ≥ 2π wiederholen sich die Werte von sin α periodisch:
sin(α + 2π) = sin α, also
- sin (7π/2) = sin(3π/2 + 2π) = sin(3π/2) = –1
- sin (11π/2) = sin(7π/2 + 2π) = sin(7π/2) = –1
- ...
und daher { α∈[π; 7π] | sin α = –1 } = { 3π/2, 7π/2, 11π/2 }.
Auch wo der Kosinus 0 wird, sieht man am Einheitskreis:
Es gilt für α ∈ [ 0; 2π [ : cos α = 0 ⇔ α = π/2 ∨ α = 3π/2.
Auch der Kosinus wiederholt sich periodisch mit der Periode 2π. Daher gilt cos(α – 2π) = cos α. Also z. B.
- cos(–π/2) = cos(3π/2 – 2π) = cos(3π/2) = 0
- cos(–3π/2) = cos(π/2 – 2π) = cos(π/2) = 0
- cos(–5π/2) = cos(–π/2 – 2π) = cos(–π/2) = 0
- ...
und daher { α∈[–5π; 2π] | cos α = 0 } = {3π/2, π/2, –π/2, –3π/2, –5π/2, –7π/2, –9π/2}.
Bitte nachprüfen!
Zeichne eine Cosinus- bzw. Sinuskurve im Intervall [0, 2pi]. Markiere die Stellen x= 1/2 pi, pi, 3/2 pi, 2 pi.
Jetzt siehst du, wo die Nullstellen sind. Die beiden Kurven sind periodisch, also kannst du sie beliebig verlängern.
wende dies auf deine Intervalle an.
fertig.
Das ist ja nur, damit du siehst, was du machen sollst. Man kann nicht alles im Kopf machen, wenn man in Mathe Probleme hat.
Berechnen, nicht graphisch bestimmen.