Funktionswert mit sinus im Kopf berechnen?
Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie den Funktionswert von sin(pi/4) im Kopf, wie geht das?
4 Antworten
y=f(x)=sin(x) Nullstellen bei x1=0 und x2=pi und x3=2*pi
Die Funktion hat 2 "Halbwellen",eine positive und eine negative.Die Extrma bilden diese Halbwellen ,Maximum" (oben) und "Minimum" (unten).
1 Periode kann man durch 4 gleiche Abschnitte aufteilen. Es ergeben sich so die Extrema
2*pi/4=1/2*pi pi/2=90°
"Maximum" bei pi/2 Nullstelle bei x=pi
"Minimum" bei 3/2 *pi Nullstelle bei x=2*pi
bei pi/4=45° also 90°/2=45°
siehe dazu auch die Vektorstellungen im Einheitskreis im Mathe-Formelbuch.Da braucht man nur abschreiben.
pi entspricht 180°
pi/4 entspricht 45°
Es handelt sich also im Einheitskreis um ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck.
1² = a² + a²
1 = 2*a²
1/2 = a²
a = Wurzel (1/2)
a = 1 / Wurzel 2 mit Wurzel 2 erweitert erhält man
a = 1/2 * Wurzel 2
Im Einheitskreis:
sin pi/4 = Gegenkathete / Hypotenuse
sin pi/4 = a / 1
sin pi/4 = 1/2 * Wurzel 2
Eigentlich ganz einfach. Erinnere dich daran, was ein Winkel von pi/4 im Bogenmaß bedeutet, und an den Satz des Pythagoras.
Im Bogenmaß ist der Kreis: 2 π = 360°
π = 180°
Mit sin (π/6) = sin 30° wärst du fein 'raus. Das ist 0,5
Und das weiß man ja allgemein.
π/4 = 45°
Den Wert kennt man vielleicht für den Tangens auswendig: 1
Für 45° gilt aber am Einheitskreis: sin 45° = cos 45°, weil da ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck entsteht. Dessen Hypotenuse ist 1.
Der Sinuswert ist das y-Stück, der Kosinus das x-Stück.
Mit Pythagoras folgt y₀² + x₀² = 1²
sin² 45° + cos² 45° = 1²
sin² 45° + sin² 45° = 1
2 sin² 45° = 1 | /2
sin² 45° = 1/2 | √
sin 45° = 1 / √2
oder wenn ich den Nenner
rational mache: sin 45° = (√2) / 2
= 1/2 √2
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Im Kopf rechnen, das würde ich nicht unterschreiben.
Aber mit einem Zettel ...
Am besten: du machst dir eine Skizze, um zu sehen, wo am Einheitskreis Sinus y₀ und Kosinus x₀ auftreten.
Denn soo einfach ist es auch wieder nicht!