Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit dafür das alle 6 zahlen im deutschen Lotto Primzahlen sind?
Hi, die Aufgabe im Titel war letztens in meiner Mathe Kursarbeit, hat irgendjemand eine Idee?
Danke
Alle sechs Zahlen bei der Ziehung?
Ja genau
4 Antworten
Naja, es gibt die Zahlen 1 bis 49, also 49 Zahlen gesamt.
Davon sind die Primzahlen gerade 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47. Also gibt es 15 Primzahlen.
Die Wahrscheinlichkeit berechnest du nun, indem du die Anzahl an Möglichkeiten nur Primzahlen zu ziehen mit jener aller Möglichkeiten dividierst bzw.
"Anzahl günstiger Ergebnisse" / "Anzahl möglicher Ergebnisse".
Die günstigen Ergebnisse sind gerade alle, wo die sechs gezogenen Zahlen alle prim sind. Die Anzahl dieser Möglichkeiten sind gerade nCr(15, 6), wobei nCr(n, k) den Binomialkoeffizienten (n über k) meint.
Die Anzahl aller möglichen Ereignisse sind demnach nCr(49, 6). Wichtig ist, dass wir bei beiden den Binomialkoeffizienten nehmen, da es nur um die Kombination und nicht auch die Reihenfolge (Permutation) geht - zumindest soweit ich mich mit Lotto auskenne.
Somit ist unsere Wahrscheinlichkeit einfach
nCr(15, 6) / nCr(49, 6) ≈ 0,04 %.
Tatsächlich ist es aber egal, ob die die Reihenfolge mit beachtest, denn die Möglichkeiten für die Gesamtanzahl an Ergebnissen und jene der günstigen nehmen proportional mit Proportionalitätskonstante 6! = 720 zu, was im Bruch aber gekürzt wird.
Wie kommst du auf nCr(6, 6) • nCr(43, 0)?
Und was meinst du mit "alle Stellen ein Treffer"?
Also zum ersten Punkt, so wurde es mir in der Schule beigebracht, die nCr(43, 0) weil die restlichen möglichen Lose auch mitbeachtet werden sollen oder so (verstanden habe ich es auch nicht ganz), und zum 2. Punkt, mit "alle Stellen ein Treffer" meine ich das ich gedacht habe das gefragt war wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist das das irgendeine Kombination aus primzahlen kommt und das so quasi nur geschaut wird ob Primzahl oder nicht und wenn es eine ist, ist es ein Treffer
Aber ich denke ich verstehe jetzt was das Problem war dabei
Achso. Da hast du leider einen Denkfehler.
Erstmal ist deine Antwort zum ersten Punkt nicht nachvollziehbar. Es geht nur darum die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass >alle< gezogenen Lottokugeln Primzahlen zeigen.
Zum zweiten, so kannst du auch vorgehen. Falls du aber denkst, es ist eine Binomialverteilung, liegst du falsch (nur >falls< du es dachtest). Wenn man es so macht, wie du dachtest, sieht es in etwa so aus:
Wenn du 16 Primzahlen von 49 Zahlen hast, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Lottokugel eine Primzahl ist 16/49. Für die zweite gezogene Kugel liegt sie dann bei 15/48 usw.
Am Ende erhälst du nach der Pfadregel (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert) dann eine Wahrscheinlichkeit von
16/49 • 15/48 • 14/47 • 13/46 • 12/45 • 11/44 ≈ 0,06 %.
Das ist natürlich das selbe. Mit dem Begriff der Fakultät kann man obere dann aufschreiben als
(16! • (49–6)!) / (49! • (16–6)!)
= (16! • (49–6)! • 6!) / (49! • (16–6)! • 6!)
= ( 16! / (6! • (16–6)!) ) / ( 49! / (6! • (49–6)!) )
= nCr(16, 6) / nCr(49, 6)
Du suchst dir als erstes die warscheinlichkeit heraus das eine Kombination überhaupt zutrifft. Also ein 6er im lotto. Ist 1 zu irgendwas millionen.
Dann suchst du dir alle primzahlen raus. und ermittels davon die anzahl der Kombinationen dieser Zahlen.
6 aus anzahl der primzahlen ohne zurücklegen und reihenfolge egal.
Dann musste diese zahl nur noch mit der warscheinlichkeit eines 6er im lotto multiplizieren.
Verwandele das in ein passendes Urnenexperiment. Färbe alle Kugeln deren Nummern Primzahlen sind blau, die anderen weiß. Nun ist die Aufgabe zu ermitteln wie groß die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von sechs Kugeln ohne Zurücklegen ist nur blaue Kugeln zu ziehen.
Schritt 1: Feststellen welche Lottozahlen überhaupt Primzahlen sind.
Schritt 2: Die Wahrscheinlichkeit nach dem Prinzip „ziehen ohne zurücklegen“ ermitteln.
Reihenfolge Egal müsste man glaube ich noch hinzufügen. Weil beim lotto ists ja egal ob man zuerst die 3 zieht oder an 6. stelle die 3 zieht.
Danke für die Ergänzung! 👍
Bin mir gerade selber nicht sicher ob das wichtig ist (ist zu lange her bei mir). Ist das hier nicht egal?
Mhhh ok danke, in der Arbeit habe ich, da ich mir nicht sicher war wie viele Primzahlen unter 49 liegen, nCr(6, 6) × nCr(43, 0) / nCr(49, 6) gerechnet, also quasi als wären alle Stellen ein Treffer