Wie berechnet man das Bild eines Dreiecks unter einer linearen Abbildung?
Hi, ich habe folgende Aufgabenstellungen in der linearen Algebra und grübele schon seit 2 Stunden daran aber finde keinen Lösungsansatz!
für a) weiß ich zwar wie man das allgemeine Bild (Bildmenge) einer Abbildung aufstellt, aber ich habe keine Ahnung wie ich dann nur das Bild fürs Dreieck berechne?? Ist die Fläche dort gemeint vom Dreieck oder soll das irgendwie eine Ebene darstellen?
und bei b) habe ich gar kein Plan, soll dort eine Abbildung aufgestellt werden über den dreifachen Funktionswert wenn man Alpha einsetzt oder was?
danke😫
3 Antworten
bei a) nehme ich an, einfach die Eckpunkte mal des neuen "Dreiecks" bestimmen und den Winkel ausrechnen und mal sehn welche Figur da rauskommt.
bei b) musst du nur die Abbildung mehrmals auf den Vektor anwenden.
Man soll das Bild berechnen von dem Dreieck. Dh was kommt raus, wenn man auf das gegebene Dreieck die Rotationsmatrix anwendet
Also würde ich jetzt die Matrix nehmen, den vorgegebenen Winkel dort einsetzen, und dann diese Matrix mit den Eckpunkten des Dreiecks (sozusagen den Vektoren) multiplizieren? Also A(2pi/3) x (2, 0) und A(2pi/3) x (2,1) und A(2pi/3) x (0,0) ?
Ok gut dann bekomme ich 3 Vektoren raus, die also deiner Meinung nach ein neues Dreieck darstellen. Wie berechne ich nun das Bild vom neuen Dreieck?
Das ist eine Lineare Abbildung. Das bedeutet, somit werden Dreiecke auf dreiecke abgebildet. Die Bilder der Eckpunkte beschreiben also die Eckpunkte des Bildes vom Dreieck.
a)
Wie ich es verstehe sollst du einfach die Ortsvektoren zu den Punkten A, B und C in die Abbildung einsetzen und schauen, was du erhälst (ein Dreieck um 2*pi/3 um den Ursprung gedreht).
b)
Einfach die Winkel einsetzen und die Matrizen mach Definition der Matrizenmultiplikation ausrechnen.
a) habe ich jetzt aber b) verstehe ich noch nicht. Wenn ich die Winkel einseitige erhalte ich ja eine ganz normale Matrix mit Zahlen. Soll ich diese jetzt 3 mal mit sich selbst multiplizieren?
Um zu wissen, wie man Matrizen multipliziert, solltest du dir erst einmal dieses Video ansehen:
b)
Du weißt, dass diese lineare Abbildungen φ eine Drehung um den Winkel α vornimmt.
φ(φ(φ({x,y}))) heißt nichts anderes, als dass die Abbildung φ dreimal ausgeführt wird. Diese dreifache Verkettung bewirkt also ein Drehung um den Winkel 3•α (konkret: 2π).
Bei der anderen entspricht die Abbildung also einer Drehung im den Winkel α+β (konkret: π).
Verstanden?
Ein Dreieck ist durch seine drei Eckpunkte eindeutig bestimmt. Das Bild eines Dreiecks durch die Bilder seiner drei Eckpunkte. Was hast du daran nicht verstanden?
Was meinst du mit neuem Dreieck? Ich dachte wenn man um den Winkel in der Aufgabe dreht, also Alpha einsetzt in die Matrix, bekommt man das Dreieck raus wo schon die Eckpunkte gegeben sind? Kannst du bitte mal ein bisschen konkreter sein was du damit meinst?🤔