Was bringt mir das "Prinzip der linearen Fortsetzung"(Lineare Algebra)?
Ich weiß nicht, was mir dieser Satz bringen soll und verstehen tue ich ihn auch nicht so wirklich. Es geht doch darum, dass wenn ich durch eine Abbildung
f:V-->W meine Basis Vektoren abbilde, meine Bildmenge schon vollständig durch die Bilder f(b) charakterisiert ist. Das verstehe ich, aber ich weiß nicht, in welchem Bezug jetzt die lineare Fortsetzung dazu steht. Den Beweis habe ich mir auch schon angesehen und weiß nicht so wirklich, was dieser jetzt aussagen soll.
Mit freundlichen Grüßen
2 Antworten
Was du gesehen hast ist schon die Hälfte des Satzes: Eine lineare Abbildung f: V->W ist eindeutig durch das Bild einer Basis bestimmt, bedeutet präzise: Sind f, g: V -> W lineare Abbildungen, sodass f = g auf einer Basis, dann f = g überall. Das ist alles schön und gut, aber die eigentliche lineare Fortsetzung ist die andere Richtung:
Hast du eine Basis {v1,...,vn} = B und eine Abbildung f': B -> W, du wählst also die Funktionswerte auf der Basis; dann existiert eine Abbildung f: V -> W, sodass f|B = f' (soll bedeuten: f eingeschränkt auf B ist f'), f ist eine Fortsetzung von f' auf V. Aus der obigen Überlegung ist diese Abbildung (falls sie denn existiert!) eindeutig. Da sie existiert (und das ist das Prinzip der linearen Fortsetzung), bekommst du also zu jeder Wahl genau eine Abbildung. Das bedeutet: Lineare Abbildungen V -> W stehen in Bijektion zu (beliebigen) Funktionen B -> W. Geschrieben: Hom(V,W) =~ Func(B,W) (zumindest im endlich-dimensionalen Fall, da wir uns sonst erst einmal fragen müssen, was "Basen" von unendlicher Dimension überhaupt sein sollen).
Wenn deine Basen sehr groß werden, dann wird es sehr umständlich, lineare Abbildungen explizit anzugeben. Es ist deshalb sehr toll zu sagen: "Sei f die Lineare Abbildung, die v1 auf x und v2 auf y schickt", eine Formel für solche Sachen zu finden wird einfach sehr hässlich wenn deine Räume nicht mehr niedrig-dimensional sind. z.B. die formelle Ableitungsfunktion d auf dem Vektorraum P der reellen Polynome: d ist die eindeutige Abbildung, sodass d(x^n) = n * x^(n-1). Durch diese Gleichung ist die Ableitung bereits eindeutig bestimmt (da {x^n | n in N} eine Basis von P ist}, du musst also keine langen Summen für beliebige Polynome mehr schreiben, jeder weiß welche Abbildung gemeint ist, und deine Konstruktion ist garantiert wohldefiniert.
Ein Beispiel wo man solche Sachen wirklich braucht: Im Laufe deines Studiums wirst du hoffentlich Dualräume kennenlernen. Ist V ein K-Vektorraum, dann ist der Dualraum V* definiert als die Menge der linearen K-Funktionale, also V* = {f: V -> K | f linear} = Hom(V, K). Die Elemente von V* hinzuschrieben wird auch ziemlich schwer, aber du kannst ausnutzen, dass die Elemente von V* lineare Abbildungen sind. Du musst also für ein Element f in V* nur angeben, wie f(e1), f(e2),... aussieht. Wenn z.B. f(e1) = 2, f(e2) = 5, und für alle anderen Basisvektoren f(ek) = 0, dann ist f eindeutig bestimmt und du kannst f = 2 * (e1*) + 5 * (e2*) schreiben (ei* ist das eindeutige Funktional, sodass (ei*)(ei) = 1 und (ei*)(ej) = 0). Diese Darstellung macht es einfach zu sehen, dass in allen leichten Fällen V und V* dasselbe sind (leichte Fälle = V ist endlichdimensional). Hättest du die lineare Fortsetzung nicht, dann wären Dualräume eine ziemlich komplizierte Sache, die Funktionale wären unglaublich hässlich und alle Physiker die sich damit rumschlagen würden die Mathematik noch mehr hassen. Da wir aber die lineare Fortsetzung haben, sind Dualräume eigentlich ein ziemlich einfaches Thema.
LG
Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort. Irgendwie werde ich daraus nicht schlau. Ich stehe total auf dem Schlauch...
Damit kannst du f(v) berechnen ohne f explizit zu wissen.
Das heißt du hast nur die Bilder der Basisvektoren von V gegeben und möchtest f(v) berechnen. Dann sagt dir der Satz:
Drücke v bzgl. Basisvektoren von V aus. Dann mit berechneten Koeffizienten bilde die Linearkombination bzgl. entsprechenden Bilder der Basisvektoren. Was rauskommt ist f(v).