Kern und Bild von Vektorräumen - Wann sind sie disjunkt?

Hallo Leute,
wir nehmen gerade in der Vorlesung das Kern und Bild von linearen Abbildungen durch. Diese beschreiben ja etwa das folgende:

img(f) := alle Vektoren, die etwas unter L abbilden
ker(f) := alle Vektoren, die sich unter L auf die 0 abbilden

Meine Frage ist folgende:
Würde das nicht bedeuten, dass der Kern von L immer eine Teilmenge vom Bild von L ist? Dieser Zusammenhang wird nie erwähnt, weswegen ich glaube, dass ich einen Verständnisfehler habe und Kern und Bild nicht disjunkt sind.

Könnte mich jemand darüber aufklären?

MfG

Answer 1

[MeRoXas]

Es sei f: V -> W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen V und W.

$Img\left(f\right)=\left\{w\in W\ :\ \exists v\in V\ sd.\ f\left(v\right)=w\right\}$ $\ker\left(f\right)=\left\{v\in V\ :\ f\left(v\right)=0\right\}$

__________

Es gilt hier offenbar, dass:

$Img\left(f\right)\subseteq\ W$ $\ker\left(f\right)\subseteq V$

__________

$\ker\left(f\right)\subseteq Img\left(f\right)$ gilt nur garantiert, wenn V=W, f also ein Endomorphismus ist. Ansonsten kann das natürlich auch stimmen - muss es aber nicht.

Betrachte

$f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}:\ \ \left(x,y\right)\rightarrow x$ Offenbar ist:

$\ker\left(f\right)=\left\langle\left(0,1\right)\right\rangle\not\subseteq Img\left(f\right)=\mathbb{R}$

, wobei <(0,1)> der vom Vektor (0,1) aufgespannte Untervektorraum ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[HansImGlueck178]

"gilt nur garantiert, wenn V=W"

Das stimmt nicht. Wenn f(v)=0 für alle v aus V, dann ist ker f keine Teilmenge von im f

[MeRoXas]

@HansImGlueck178

Stimmt.

Ist V=W, ist V die direkte Summe des Bildes und des Kernes, bis auf den Nullvektor sind Kern und Bild also disjunkt. Also kann man im Allgemeinen keine Aussage treffen, wann der Kern eine Teilmenge des Bildes ist. Ich danke dir.

[MeRoXas]

Um den bemängelten Teil richtig zu stellen:

Der Kern ist garantiert eine Teilmenge des Bildes, wenn V=W=Bild(f). Da das aber eher selten der Fall ist, dürfte dies kein allzu häufig genutztes Kriterium ergeben.

Answer 2

[HansImGlueck178]

Das Bild sind alle Elemente, auf die eine Abbildung abbildet, nicht die, die auf etwas abbilden (was naturgemäß alle sind).

Wenn f Elemente aus V auf solche aus W abbildet, dann ist das Bild von f eine Teilmenge von W, der Kern eine Teilmenge von V.

Comments

[Husar22]

Danke für die Antwort! Da hab ich schon mal meinen ersten Verständnisfehler entdeckt :)

Ich möchte für mich zum Verständnis dann nochmal zusammenfassen:

img(L) := alle Vektoren, auf die abgebildet WIRD
ker(L) := alle Vektoren, die auf den Nullvektor ABBILDEN

Liege ich da jetzt richtig?

[HansImGlueck178]

@Husar22

Ja, tust du.