lineare Abbildung aus vorgegebenem Kern und Bild konstruieren?

Hallo miteinander,

ich habe wieder einmal eine Frage. Ich beschäftige mich immer noch mit linearen Abbildungen und versuche mich an folgender Aufgabe:

Konstruieren Sie iene lineare Abbildung von R^3 nach R^3, so dass der Kern die Gerade durch u= (1, 2, 3) und das Bild die y-z-Ebene ist.

Ich habe schon ähnliche Aufgaben gelöst, bei denen allerdings Kern und Bild zu finden waren. Dementsprechend versuchte ich das ganze hier einfach 'rückwärts' angehen, wobei ich allerdings nicht weiterkomme...

In den Skripts sowie im Internet fand ich nur Infos zum finden vom Bild und Kern einer linearen Abbildung, aber eben leider nicht wie man aus letzteren eine lineare Abbildung konstruiert... Ich wäre um jede Hilfe äusserst dankbar!

Einen schönen Abend euch Allen

Answer 1

[Melvissimo]

Du weißt hoffentlich, dass lineare Abbildungen R^3 -> R^3 und quadratische Matrizen der Größe 3 x 3 im Prinzip dasselbe sind. Daher konstruiere ich nur eine Matrix, die das erfüllt.

Zunächst: Das Bild soll die yz-Ebene sein, d.h. die x-Komponente eines jeden Vektors im Bild muss 0 sein. Schauen wir uns das Produkt einer Matrix mit einem Vektor an, so schlussfolgern wir, dass die erste Zeile der Matrix die 0-Zeile sein muss.

Da das Bild ferner zweidimensional ist, muss die Matrix den Rang 2 haben, d.h. die anderen beiden Zeilen sind besser linear unabhängig.

Nun soll (1,2,3) im Kern liegen. Sagen wir, die Matrix lautet

0  0  0
a  b  c
d  e  f

dann bedeutet das gerade:

• a + 2b + 3c = 0 und
• d + 2e + 3f = 0.

Es gibt viele Wahlen dieser Parameter, die die Bedingungen erfüllen. Wählen wir z.B. f = 1 und e = 0, so erhalten wir d = -3.

Ähnlich könnten wir c = 0 und b = 1 wählen und damit a = -2 erzwingen. Dann ergibt sich die Matrix:

 0  0  0
-2  1  0
-3  0  1

Als Abbildung ausgedrückt:

f(x,y,z) = (0, -2x + y, -3x + z). 

Man muss nur darauf achten, dass die Parameter wirklich so gewählt werden, dass die beiden letzten Zeilen linear unabhängig sind.

Comments

[sabine1121]

Vielen Dank für deine Hilfe, das hat mir sehr viel gebracht!

Answer 2

[Roach5]

Willst du eine lineare Abbildung konstruieren, oder willst du die dazu gehörende Matrix finden? Das sind zwei unterschiedliche Sachen.

Wenn du eine lineare Abbildung finden willst dann ist das sehr einfach.

1. Nimm die Menge {u}. Fülle nun {u} zu einer Basis B = {u, v1, v2} auf.

2. Definiere g: B -> R³, g(u) = 0, g(v1) = (0,1,0), g(v2) = (0,0,1), und das Prinzip der linearen Fortsetzung besagt, dass es genau eine lineare Abbildung f: R³ -> R³ gibt, sodass die Einschränkung auf die Basis einfach nur g ist, also f|B = g.

Wenn du eine Matrix finden willst, dann mach folgendes.

1. Wie oben mach erstmal aus {u} eine Basis.

2. Finde Koordinaten von (0,1,0) und (0,0,1) in B.

3. Die Matrix der Abbildung von oben in Koordinaten in B sind einfach f(u/v1/v2) nebeneinander geschrieben.

4. Mache jetzt einen Basiswechsel von B in die kanonische Basis K = {ex, ey, ez}. Die Matrix die hier herauskommt ist Mat(f) in kanonischen Koordinaten.

LG