Kern einer linearen Abbildung bestimmen R3->R1?
Wie berechne Ich den Kern von der linearen Abbildung:
2x + 3y - 5z
Diese Abbildung bildet vom R3 in den R1 ab.
Ich weiß, dass ich zwei freie Parameter habe und die Dimension des Kerns 2 sein muss, nur bin ich sehr verwirrt wie ich die Variablen y und z umtaufe und das Ergebnis aufschreiben muss...
Hoffe ihr könnt mir helfen. :/
Danke im Voraus!
1 Antwort
Hallo,
der Kern der linearen Abbildung f: ℝ³ → ℝ mit f(x,y,z) = 2x+3y-5z
steht schon fast da: es ist die Menge E = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | 2x+3y-5z = 0 } (*)
Das ist eine Ebene, die durch den Nullpunkt (0,0,0) geht und und senkrecht zum Vektor (2, 3, -5) liegt.
Um die Ebene in Parameterform darzustellen, kann man sich zwei linear unabhängige Vektoren "basteln", die die Ebene E aufspannen.
P(1, 0, 2/5) ist ein Punkt der Ebene, d.h. der Vektor OP ist ein Richtungsvektor der Ebene (O sei der Koordinatenursprung).
Q(0, 1, 3/5) ist ein weiterer Punkt der Ebene, d.h. der Vektor OQ ist ein weiterer Richtungsvektor der Ebene.
Die Vektoren OP und OQ sind linear unabhängig und stehen auf dem Vektor (2, 3, -5) senkrecht. OP und OQ spannen die Ebene E auf.
Multipliziert man die beiden Vektoren mit 5, also nimmt man die Vektoren 5OP und 5OQ, so verschwindet der Bruch in der 3. Komponente und man erhält die Vektoren mit den Koordinaten (5, 0, 2) und (0, 5, 3).
Eine Parameterdarstellung der Ebene E sieht dann so aus:
(x,y,z) = s•(5,0,2) + t•(0,5,3), s, t ∈ ℝ
Gruß
P.S. Die Multiplikation mit 5 ist rein "kosmetisch", um den Bruch in der dritten Komponente zu vermeiden.