Von R3 in r1 die Basis vom Kern bestimmen oder Bild?
Ich sitz an einer Aufgabe und weiß, dass die bestimmt einfach ist, aber ich komm einfach nicht weiter..
Seif:R3 →R,(x,y,z)→x+y.
Man soll die Basis von Kern f bestimmen.
dann die Surjektivität prüfen.
Kann mir jemand helfen?
1 Antwort
Für den Kern musst du einfach nur x+y = 0 nach x,y und z auflösen.
Offensichtlich ist der z-Wert für den Funktionswert irrelevant, da f(0,0,1) = 0 und damit f(x,y,z) = f(x,y,0) + f(0,0,z) = f(x,y,0).
Danach bekommst du noch die Relation x = -y, also ist ein weiterer Basisvektor (1,-1,0). Wir haben jetzt zwei Basisvektoren gefunden. Wenn wir prüfen, dass f surjektiv ist, dann haben wir dim im(f) = 1, damit dann auch dim ker(f) = 2 und wir haben also den gesamten Kern gefunden.
Wir wollen also für irgendein reelles r einen Vektor (x,y,z) finden, sodass f(x,y,z) = r. Wähle einfach (r,0,0) und du hast f(r,0,0) = r, also ist f surjektiv und damit ist der Kern genau L((1,-1,0),(0,0,1)).
LG