Wie finde ich die Darstellungsmatrix?

Ich weiß z.B. wie man die Darstellungsmatrix für R3 oder für eine 2x2 Matrix durch konkrete Matrizen als Formeln bestimmt, aber diese Formel p(x+1) und die Basis für die Matrix verwirren mich.

Wie muss ich hier vorgehen?

Comments

[Jangler13]

Weißt du denn wie die Basis von diesem Vektorraum aussieht?

[Deva01]

Ich denke die Basis besteht aus den Polynomen 1, x, x², x³, x^n oder?

Answer 1

[AlisaL]

Um die Dastellungsmatrix einer linearen Abbildung A bzgl einer Basis B auszurechnen, musst du für jedes b in B das Element A(b) als Linearkombination der Basis B darstellen. Die Skalare dieser Linearkombination bilden dann die entsprechende Spalte deiner Matrix.

Für n = 1 kann man die Matrix aus deinem Beispiel zB folgendermaßen berechnen:

T(1) = 1 = 1 • 1 + 0 • x

T(x) = x + 1 = 1 • 1 + 1 • x

Ensprechend ist die Matrix

1 1

0 1

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathemaster

Comments

[Deva01]

Danke, das hat mir sehr weitergeholfen. Aber wie viele Spalten hat denn die fertige Matrix? Ich habe bis jetzt 3 Spalten ausgerechnet.

[AlisaL]

@Deva01

Eine Spalte pro Basisvektor. Im Beispiel n = 1 ist die Spalte zum Basisvektor 1

1

0

und die Spalte zum Basisvektor x

1

1

Im allgemeinen Fall gibt es n+1 Spalten: je eine Spalte für 1, x, x², x³, ... x^n.

[Deva01]

@AlisaL

Danke, wie schreibe ich das dann auf, wenn ich die ersten 4 Spalten berechnet habe? Es geht ja dann bis zur Spalte n+1.

[AlisaL]

@Deva01

Eine Spalte sollte auch n+1 Einträge haben.

Zum Beispiel könntest du eine Formel für den i-ten Eintrage der j-ten Spalte in Abhängigkeit von i und j angeben.

Answer 2

[Jangler13]

Genau, die Basis hast du also schon.

Du musst dir nun überlegen worauf die einzelnen Basispolynome Abgebildet werden (setzte einfach die jeweiligen Polynome für p ein)

Wenn du das hast, kannst du nun die Matrix bestimmen, die i. Spalte der Matrix ist nämlich das Bild des i. Basisvektors.

(Du musst dann immer das Bild zu einem Vektor des R^n "codieren", die Einträge des Vektors sind die Koeffizienten der Linearkombination )

Beispiel: die Abbildung p -> p+1 im R1[x]

1 wird auf 2 abgebildet, x auf x+1

Die erste Spalte ist dann somit (2, 0).T

Die zweite ist (1,1).T