Beweisen ob die Abbildung injektiv oder surjektiv ist?
Ich habe die Funktion ℝ²->ℝ², (x,y) |-> (4y-1,5x)
mich verwirrt etwas, dass da zwei Variablen sind. Bitte um Hilfe. Ich weiß nicht, wie ich da vorgehen muss, um herauszufinden ob es surjektiv oder injektiv ist. Bzw. auch nicht, wie man hier dann die Umkehrabbildung bildet.
1 Antwort
Du musst ja im Prinzip nur die Definition abprüfen.
Also:
Injektiv: Folgt aus f(x,y)=f(a,b) auch (x,y)=(a,b)? Wenn ja, beweise es. Wenn nein gib ein Gegenbeispiel an.
Surjektiv: Gibt es zu jedem (x,y) aus ℝ² ein (a,b) aus ℝ² mit f(a,b)=(x,y)? Wenn ja, beweise es. Wenn nein gib ein Gegenbeispiel an.
(a,b) ist einfach ein weiteres Tupel, weil man für die Injektivität und Surjektivität ja mit zwei verschiedenen Tupeln hantieren muss. Ich hätte auch (x₂, y₂) oder so nehmen können.
Ein Tipp zur Injektivität: Versuche mal, ob man (0,0) mit mehr als einem Tupel (x,y) erzeugen kann. Wenn ja, dann ist die Abbildung ja nicht injektiv.
Zur Surjektivität: Versuche mal herauszufinden, was man in die Funktion einsetzen muss, um (1,2) als Bildwert zu erhalten. Verallgemeinere diese Überlegung dann auf einen Bildwert (x,y)
Okay. Dankeschön. Könntest du mir bitte noch erklären, für was dann das a und b steht, bzw. woher die kommen?