Abbildung von Z auf Z surjektiv, aber nicht injektiv?

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3 Antworten

Hi Einstein ;-) geht auch eine "abschnittsweise definierte" Funktion?

Z.B.: f(x) = 0 für x=0
        f(x) = x-1 für x>0
        f(x) = x+1 für x<0

● Nicht injektiv, da f(-1) = f(0) = f(1) = 0
● Surjektiv

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In der Mathematik und Logik wird geboten „suche stets nach möglichst einfachen (Gegen)beispielen!“ Hier ein minimales Bsp für ℤ:

ƒ(n)=n für n≤0; ƒ(n)=n–1 für n>0.

Dies ist offensichtlich surjektiv und nicht injektiv.

Im Allgemeinen gilt für jede Menge X:

Satz (AC). X ist unendlich ⟺ ∃ƒ:X——>X surj & ¬inj. ⊣

Beweis. (⟹). Sei X unendlich. Dann existiert per Definition (nach Dedekind) eine injektive Funktion g : X → X, die allerdings nicht surjektiv ist. Bezeichne mit g(X) die Menge {g(x) : x∈X}. Da g nicht surjektiv ist, gilt X\\g(X) ≠ Ø. Da X unendlich ist, ist insbesondere X≠Ø. Fixiere x₀∈X. Definiere ƒ : X→X durch

ƒ(g(x))=x für alle x ∈ X.
ƒ(y) = x₀ für alle y∈X\\g(X).
  • Da g injektiv ist, ist ƒ wohldefiniert. Per Konstruktion gilt ƒ(X) ⊆ X und ƒ(X) ⊇ ƒ(g(X)) ⊇ id(X) = X. Also gilt ƒ(X)=X. Das heißt, ƒ ist surjektiv.
  • Sei y∈X\\g(X) — existiert, da X\\g(X)≠Ø, und beachte dass g(x₀)∈g(X), sodass g(x₀)≠y. Es gilt aber ƒ(g(x₀))=x₀=ƒ(y). Darum ist ƒ nicht injektiv.

Also existiert eine Funktion ƒ:X→X surj. & ¬inj.

(⟸). Angenommen, es gebe eine Funktion ƒ : X→X, die surj. & ¬injektiv ist. Da ƒ surjektiv ist, existiert mittels AC ein Inverses nach rechts, das heißt eine Funktion g : X→X mit ƒg = id.

  • Es folgt automatisch daraus, dass g injektiv ist: für alle x,x'∈X mit g(x)=g(x') gilt x=id(x)=ƒ(g(x))=ƒ(g(x'))=id(x')=x'.
  • Angenommen, g sei surjektiv. Seien y, y'∈X mit ƒ(y)=ƒ(y'). Wegen Surjektivität existieren x, x'∈X mit g(x)=y und g(x')=y'. Dann folgt x=id(x)=ƒ(g(x))=ƒ(y)=ƒ(y')=ƒ(g(x'))=id(x')=x'; also x=x'; also y=g(x)=g(x')=y'. Daraus ergibt sich die Injektivität von ƒ. Widerspruch! Darum ist g nicht surjektiv.

Darum ist g eine Funktion g : X→X, die inj.&¬surj ist. Nach Dedekind bedeutet dies exakt, dass X unendlich ist. QED.

Daher ist die Existenz einer solchen Funktion garantiert für die—in der Tat laut des o. s. Satzes charakterisierend von den—unendlichen Mengen.


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f(x) = x² wäre eine

Für x kannst du jede beliebige ganze Zahl einsetzen, aber für f(x) bekommst du nur Werte >= 0

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Kommentar von Ellejolka
19.10.2016, 21:46

glaube nicht, dass das surjektiv ist; es sei denn man schränkt die Wertemenge auf die Quadratzahlen ein.

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Kommentar von wictor
19.10.2016, 21:46

Ich muss mich korrigieren, das was ich genannt habe ist injektiv, aber nicht surjektiv - also das Gegenteil von dem was du suchst.

Du kannst aber die Umkehrfunktion als Beispiel nehmen: Wurzel aus x.

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