Eigenschaften der Rotation der Vektorfeldern?
Ich brauche Hilfe bei dem Beweis zur Eigenschaft 2, 3 und 4. Ich finde im Internet leider keinen Beweis zu diesen Eigenschaften. Könnte mir jemand sagen, wie der Beweis dazu aussieht?
1 Antwort
2) Das sollte doch lediglich reines Rechnen sein. Versuche mal alles genau aufzuschreiben.
3)+4) Das ist im Grunde ein Spezialfalls des Poincaré-Lemmas. Wie du 3)+4) beweist, ist abhängig von den Vorkenntnissen.
Bei 3) könntest du mit dem Satz von Stokes zeigen, dass für rot(V)=0 das Vektorfeld wegunabhängig ist (zeige dass das Integral über geschlossene Wege 0 ist). Wegunabhängigkeit ist für sternförmige Menge (oder allgemeiner einfach zusammenhängend) äquivalent zu konservativ sein, was V=grad(f) bedeutet.
4) Dazu kenne ich leider keinen Beweise (der nicht argumentativ ein Spezialfall des allgemeine Beweises ist). Vielleicht habt ihr aber nützliche Sätze oder Zwischenresultate bereits bewiesen.
Zunächst danke ich dir für die Tipps! Nein, es ist tatsächlich keine Übungsaufgabe. Ich soll demnächst einen Vortrag halten und bin so gut wie fertig mit der Vorbereitung. Mir fehlen halt lediglich die Beweise zu den 3 Eigenschaften.
Achso. Notfalls findet man dazu Beweise auch im Internet, wobei meistens der allgemeine Fall mit Differentialformen bewiesen wird. In allen Fällen wird aber die gesuchte Funktion/ Form konkret hingeschrieben und dann bewiesen, dass sie die Eigenschaft erfüllt. Die Funktion/Form ist die Summe von Integralen von 0 bis 1 (wir wollen ja eine Art Stammfunktion finden), über den Funktionen die, die Komponenten von V enthalten. Je nachdem, was ich an U voraussetze, muss ich dann die Komponenten noch anpassen, damit mein Integral wohldefiniert ist.
Alles klar, danke dir!! Ich setze mich morgen erneut dran und berücksichtige deine Tipps:)
In deinem Fall kannst du das sogar relativ einfach machen. Schreib dir einfach die Bedingung V=rot(W) hin. Also was dann für die partiellen Ableitung für W gilt. Dann setzt du Wz=0 und integrierst die zwei Bedingungen, in denen du in die z Richtung ableitest. Dann siehst du, dass Wx und Wy einfach nur ein Integral über Vy und Vx plus eine Funktion abhängig von x und y ist. Das kannst du dann in die verbleibende Bedingung einsetzen. So gehts dann weiter.
Danke dir ehrlich, finde es mega, dass du so hilfsbereit bist!
Ist das eigentlich eine Übungsaufgabe?