Vektorfeld?
Wir betrachten das Vektorfeld: ~v : R 2 → R 2 , ~v(x, y) =e(^x^2+3y^2)*((ax+by)) für die x Komponente und (x) für die y Komponente mit Parametern a ∈ R und b ∈ R. Bestimmen Sie die Divergenz von ~v für alle a ∈ R und b ∈ R. Für welche a ∈ R und b ∈ R ist ~v quellenfrei?
Mein Ansatz bis zur Divergenz ist
= e(^x^2+3y^2)*(a*(1+2x^2)+2x*by+6yx)
Um zu überprüfen das es quellenfrei ist muss man die Formel = 0 setzen.
Es wirkt so als wäre die obere berechnete Gleichung falsch weswegen ich hier nach Hilfe und eine mögliche Antwort hoffe.
Danke im Voraus
1 Antwort
Sei das Vektorfeld v mit
v = [e^(x^2+3y^2) ]
[ax + by ]
gegeben. Für die Divergenz folgt schrittweise:
(i) dv_x/dx = 2x*e^(x^2+3y^2)
(ii) dv_y/dy = b
--> div(v) = dv_x/dx + dv_y/dy = 2x*e^(x^2+3y^2) + b
An dieser Stelle sollte offensichtlich sein, dass div(v) nicht überall identisch 0 sein kann für jegliche Wahl von a und b. Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass obiges Vektorfeld nicht dem angegeben entspricht (es ist nicht ganz klar wie dein Vektorfeld aussieht).
Auf Basis deiner Berechnungen nehme ich mal an, dass das eigentliche Feld wie folgt aussieht:
v = [e^(x^2+3y^2)*(ax + by) ]
[ x ]
Damit gilt für die Divergenz auf analogem Wege:
div(v) = 2x*e^(x^2+3y^2)*(ax + by) + a*e^(x^2+3y^2)
= e^(x^2+3y^2)*(a*(2x^2 + 1) + 2bxy)
Da die Exponentialfunktion für alle Argumente stets ungleich 0 ist muss der polynomiale Faktor verschwinden. Es muss also gelten:
a*(2x^2 + 1) + 2bxy = 0
<=> a*(2x^2 + 1) = -2bxy
Für festes x und variables y ist diese Gleichung nur erfüllbar, wenn b = a = 0 gilt. Und allgemein für beliebiges x und y dann ebenfalls nur für a = b = 0. Das Vektorfeld besitzt in diesem Fall die Gestalt
v = [ 0 ]
[ x ]
Falls dies immer noch nicht das richtige Vektorfeld war musst du das bitte einfach nochmal explizit und sauber aufschreiben.