Wie berechne ich diesen Flächeninhalt (Figur aus mehreren Kreisen)?
Die untere Strecke hat die Länge a.
Die Fläche A soll in Abhängigkeit von a angegeben werden.
Die Kreuze stellen Kreismittelpunkte dar.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Formel verraten könnte!
7 Antworten
Voraussetzung : Alle Radien sind dieselben. Und der Radius hier ist a ! Weil gleichseitiges Dreieck.
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Dann ist in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck mit
drei angepappten Kreisegmenten (nicht K-Sektoren) , die einen Winkel von 60 Grad haben , weil gleichDreieck.
Fläche ist also
gleichDreieck mit a als Seite + 3 * Kreissegment. Die Formel sieht so aus
für alpha 60 Grad einsetzen.
Überlege dir das mal in etwas größer.
Du hast also einen Sechstel eines Kreises mit Radius a, plus 2 dieser 'Ausbuchtungen' (eine ist ja schon abgedeckt).
Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a hat ja die Fläche a²/2.
Ein Kreis mit Radius a hat die Fläche πa².
Stelle dir vor du setzt sechs dieser gleichseitigen Dreiecke in den Kreis ein, dann bedecken die alles außer 6 'Ausbuchtungen', also:
Fläche(6 Ausbuchtungen) = πa² - 6*a²/2. = (π - 3)a² = a²*0.141592...
2 Ausbuchtungen haben also einen Drittel davon, also a²*0.04719...
Dein Dreieck hat also die Fläche a²/2+a²*0.04719... = 0.5419...a²
Übrigens falsche Formel kopiert, es muss natürlich für die Fläche des Dreiecks sqrt(3)*a²/4 sein.
Die Idee kann man aber weiterhin anwenden.
Die Fläche kann man in ein gleichseitges Dreieck und drei Kreissegmente unterteilen.
Der Flächeninhalt des gleichseitigen Driecks mit Seitenlänge a ist gegeben durch:
Der Mittelpunktswinkel eines Kreissegments entspricht jeweils einem Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks, beträgt also φ = 60° im Gradmaß bzw. φ = π/3 im Bogenmaß. Der Flächeninhalt eines Kreissegments mit Radius r = a und Mittelpunktswinkel φ = π/3 ist gegeben durch:
Damit ist der gesuchte Flächeninhalt A gegeben durch:
Ergebnis:
Ansonsten könnte man die Fläche auch als drei Kreissektoren sehen, welche sich in einem gleichseitigen Dreieck überlappen.
Man kann also den Flächeninhalt eines entsprechenden Kreissektors berechnen und diesen Flächeninhalt verdreifachen. Da man so das gleichseitige Dreieck dreifach gezählt hat, muss man dann noch zweimal den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks subtrahieren.
Ein entsprechender Kreissektor (mit Mittelpunktswinkel 60°, was einem Sechstel eines Vollwinkels von 360° entspricht) entspricht einem Sechstel eines ganzen Kreises. Der Flächeninhalt von drei entsprechenden Kreissektoren entspricht demnach dem Flächeninhalt eines Halbkreises mit Radius r = a. Demnach erhält man zunächst den Flächeninhalt 1/2 ⋅ π ⋅ r² bzw. 1/2 ⋅ π ⋅ a², von dem man noch das doppelte des Flächeninhalts √(3)/4 ⋅ a² eines gleichseitigen Dreiecks subtrahieren muss.
A = 1/2 ⋅ π ⋅ r² - 2 ⋅ √(3)/4 ⋅ a² = π/2 ⋅ r² - √(3)/2 ⋅ a² = (π - √(3))/2 ⋅ a²
Hm, ich sehe da drei Kreissegmente, die übereinander liegen und dabei ein gleichseitiges Dreieck bilden.
Sprich, ich würde dreimal die Fläche des Kreissegments nehmen und zweimal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks abziehen.
Naja, den Radius hast du ja gegeben, der ist a. Damit kannst du die Fläche des gesamten Kreises berechnen, das ist dann pi*a². So, und welchen Winkel hat dein Kreissegment?
Ein gleichseitiges Dreieck muss wohl an allen drei Ecken den gleichen Winkel haben. Die summierten Innenwinkel eines Dreiecks sind immer 180°. Dementsprechend, welchen Innenwinkel hat ein gleichseitiges Dreieck an allen Ecken?
Und wie groß ist der Anteil eines Kreissegments mit diesem Winkel am ganzen Kreis, der sinnigerweise 360° geht?
Ich sehe keine Segmente, sondern Sektoren !
https://www.bauformeln.de/mathematik/geometrie-in-der-ebene/kreissektor/
Kommst du aus Österreich ? :)) kleiner Witz bzw. möglich , dass dort die Bezeichnungen andere sind.
Wiki sagt das
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment........ wollte ich schreiben .............aber dann sah , ich ,dass du doch recht hast, da du ja zweimal die D-Fläche abziehst. Alles klar ! :)
Nein, Süddeutschland.
Das, was Wikipedia als Kreissegment bezeichnet, habe ich, wenn ich mich recht entsinne, nie in der Schule gesehen. Vielleicht hat da einfach das schwäbische Problem mit Fachbegriffen zugeschlagen ;)
Ich habe wieder was gelernt und nenne es ab jetzt Kreisausschnitt. :)
die Formel fürs KS ist ja auch gewöhnungsbedürftig und nicht wirklich nötig . da hat die Lehrkraft mit Euch wohl Mitleid gehabt ............ oder ihr solltet genug Zeit für die Erntehilfe haben :))
Haha, ich überlege gerade ob wir am Ende überhaupt noch einen Landwirt in der Klasse hatten ;)
Zum Vergleich:
Die Idee hatte ich auch. Allerdings habe ich das Problem, dass ich nicht weis, wie groß die Kreissegmente sind.