Wie berechne ich die Mitte auf dem Kreisbogen (nicht den Mittelpunkt des Kreisbogens) mit Hilfe der Koordinaten von Start-, Mitte-, Endpunkt und dem Radius?

Du musst Deine Frage etwas genauer formulieren und am besten mit einem Bild erklären. Du suchst die Mitte eines Kreisbogens. Bis dahin kann ich noch folgen. Zur Sicherheit frage ich aber nochmal nach, ob dieser Mittelpunkt auch auf dem Kreisbogen liegt? Ich vermute: Ja.

Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten einen Kreisbogen zu definieren. Die Terme Start-, Mitte-, Endpunkt könnten nun bedeuten, dass Du Deinen Kreis oder den Kreisbogen über drei verschiedene Punkte definierst. Wenn Du das machst, dann ist die zusätzlich Angabe eines Radius überflüssig. Drei Punkte definieren bereits die Lage und den Radius eines Kreises bzw. eines Kreissegmentes. Es sind die roten Punkte in meiner Zeichnung.

Zur Lösung stellst Du erst einmal eine Kreisgleichung in kartesischen Koordinaten auf:

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2

Die drei Unbekannten x0, y0 und R  bestimmts Du mit Hilfe der kartesischen Koordinaten Deiner drei roten Punkte "Startpunkt", "Mittepunkt" und "Endpunkt"  (xs, ys) ; (xm, ym) und (xe, ye)

Um nun den Kreisbogenmittelpunkt zu bestimmen reicht eine einfache Vektoraddition aus. Du brauchst nur den blauen Vektor vom Kreismittelpunkt zum Startpunkt zu nehmen. Dazu addierst Du den blau gestrichelten Vektor vom Kreismittelpunkt zum Endpunkt. Der Summenvektor zeigt nun schon mal in die richtige Richtung. Er muss nur noch auf die Länge des Radius R zurecht gestutzt werden. Und schon hast Du die Mitte von Deinem Kreisbogen. Siehe zweites Bild. In der mathematischen Ausführung teilst Du den Vektor durch das Skalar seiner eigenen Länge, also durch seinen Betrag und multiplizierst ihn anschliessend wieder mit dem Radius R.

Naja wie jede Strecke einen Mittelpunkt hat, hat auch ein(e) Kreisbogen (-Linie) einen Mittelpunkt. Damit meine ich jedoch nicht das Zentrum des dazugehörigen Kreises sondern den Punkt auf dem Kreisbogen zwischen Start und Endpunkt!