Wie berechne ich den arcsin(0,5) ohne Rechner?
Hallo, ich soll die waagerechten Tangenten im Intervall [0, 2pi ]berechnen für
f(x) = x+ 2cos(x)
= für f'(x) = 0 => 1/2= sin(x)
Nun meine Frage als Ergebnis für x kommt raus arcsin(1/2) = x.
- Wie berechne ich das ohne Taschenrechner?
- Im Beobachten des Graphen von Sinus kommen zwei Stellen in Betracht für x, jedoch ist arcsin (1/2) nur pi/6. Wie komme ich genau ohne Abschätzung auf die zweite Stelle?
Danke im Voraus.
3 Antworten
Im Kopf ausrechnen wird schwer. Entweder man hat den Wert im Kopf, also sin(30°) = 0,5, wobei 30° gleich pi/6 entspricht.
Oder du nimmst dir wirklich die Formale Definition her, was dann aber auch nur mit Taschenrechner zu machen ist.
Es ist aber definitiv empfehlenswert einige Sinus- und Cosinuswerte im Kopf zu haben.
Zur zweiten Frage. Da hilft eine Anschauung der Bedeutung des Sinus am Einheitskreis. Der Sinus entspricht im Einheitskreis ja quasi der "Höhe" des Punktes. Wenn du den Punkt, der bei 30° auf dem Kreis also an der y-Achse spiegelst, erhältst du auch einen Punkt mit der gleichen "Höhe".
So erkennst du, dass für 150° was 5pi/6 entspricht auch eine Nullstelle hast.
Es gilt also sin(150°) = sin(30°)
Kurz:
- Auswendiglernen entsprechender Werte.
- Die zweite Lösung x₂ = 5π/6 erhält man aus der ersten Lösung x₁ = π/6, indem man x₂ = π - x₁ rechnet.
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Man sollte einige Werte für die Winkelfunktionen sin, cos, tan auswendig wissen...
[Dafür kann man sich zu den Winkeln 0°, 30°, 45°, 60°, 90° bzw. 0, π/6, π/4, π/3, π/2 die Werte √(0)/2, √(1)/2, √(2)/2, √(3)/2, √(4)/2 für die Sinusfunktion merken. Für die Kosinusfunktion absteigend √(4)/2, √(3)/2, √(2)/2, √(1)/2, √(0)/2. Und für die Tangensfunktion tan = sin/cos.]
Im konkreten Fall sollte man sin(π/6) = 1/2 auswendig wissen, woraus man dann arcsin(1/2) = π/6 erkennen kann.
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Die arcsin-Funktion liefert hier nur den Winkel π/6, der im Intervall [-π/2, π/2] liegt. Denn die arcsin-Funktion ist nur die Umkehrung der sin-Funktion eingeschränkt auf [-π/2, π/2]. Denn insgesamt ist die sin-Funktion gar nicht umkehrbar, da die sin-Funktion nicht injektiv ist. Der entsprechende Bereich der sin-Funktion habe ich in der folgenden Skizze grünlich markiert.
Den zweiten Wert erhält man aufgrund von Symmetrieüberlegungen zur sin-Funktion. Wegen sin(π - x) = sin(x) erhält man neben
auch die Lösung
der Gleichung sin(x) = 1/2.
Es gäbe nun noch weitere Lösungen, welche man aufgrund der π-Periodizität der sin-Funktion erhält, indem man ein Vielfaches von π zu einer bereits gefundenen Lösung addiert. Die weiteren Lösungen liegen jedoch alle außerhalb des Intervalls [0, 2π].
Ich würde da anfangen: 0,5= sin(x)
Der sin ist Ankathede durch Hypothenuse und das lässt sich graphisch lösen:
Als Hypothenuse Waagrechte 10 cm zeichnen. Ankathede 5 cm zeichnen. Verbinden und Winkel ablesen: 30°.
30° ist 30/360 * 2π = 1/6 π
Bei einer cos x oder sin x wiederholen sich die Maxima immer nach π.
Also ist auch alles eine Lösung mit π/6 + n * π mit n ∈ ℤ