Welches Volumen hat diese Kugel (in Kubikmeter)?
Durch eine Kugel wird zentral ein kreisrundes Loch gebohrt.
Der Rest (der Mantel rund um das Loch) habe eine Höhe von 1 Meter.
Hier ein 3D-Bild sowie eine schematische Seitenansicht:
(Hinweis: Es fehlt nichts)
Berechnet das Volumen in Kubik-Meter. Schreibt es hin nach folgendem Schema:
0,ABCDEFGHIJKL...
4 Antworten
Wenn du dir die Skizze des Querschnitts anschaust, dann kannst du vertikal (entlang der Höhe des Zylinders) mittig halbieren und um 90° im Uhrzeigersinn drehen.
Die daraus resultierende Kurve des Kreissegments kann man als Funktion auffassen. Ist der Radius der Kugel (also auch des Kreises) r, so hat die Funktion die Gestalt f(x) = √(r² – x²).
Diese Funktion definieren wir für das Intervall [–1/2, 1/2], da als Höhe 1 m gegeben ist. Hier eine Visualisierung:
Berechnen wir nun das Volumen des Rotationskörpers dieser Funktion, so entspricht es unserem Volumen der Kugel ohne die beiden Segmente am Deckel und am Boden des Zylinders.
Die folgende Grafik zeigt den Rotationskörper von der Grafik darüber, allerdings habe ich noch den Zylinder mit eingezeichnet - ohne Zylinder wären die ebenen Flächen an (0.5, 0, 0) und (–0.5, 0, 0) selbstverständlich immernoch vorhanden, nur eben ausgefüllt.
Mit der Formel für Volumen von Rotationskörpern erhalten wir dann mit den Integrationsgrenzen –1/2 als untere und 1/2 als obere einfach
π ∫ (r² – x²) dx
= π [(r² (1/2) – (1/2)³/3) – (r² (–1/2) – (–1/2)³/3)]
= π [(r²/2 – 1/24) – (–r²/2 + 1/24)]
= π (r² – 1/12).
Nun müssen wir noch das Volumen des Zylinders abziehen, da das in unserer Rechnung einbezogen wurde (wir müssen also das Volumen des Rotationskörpers, wie in der folgenden Grafik gezeigt, abziehen).
Das geht indem wir die Formel für Volumen von Rotationskörpern über
√(r² – (1/2)²)
mit bekannten Integrationsgrenzen anwenden, also
π ∫ (r² – (1/2)²) dx
= π [(r² – 1/4) (1/2) – (r² – 1/4) (–1/2)]
= π (r² – 1/4).
Das müssen wir nun vom Volumen des großen Rotationskörpers abziehen und erhalten
π (r² – 1/12) – π (r² – 1/4)
= π (r² – 1/12 – r² + 1/4)
= π (1/4 – 1/12)
= π/6.
Das Volumen ist also unabhängig vom Radius der Kugel und vom Radius des Zylinders, solange der Zylinder die Höhe h = 1 m hat. Das Volumen hat natürlich die Einheit m³.
Damit die Lösung auch der Aufgabenstellung gerecht wird, runden wir noch auf zwölf Nachkommastellen, also
π/6 ≈ 0.523598775598 [m³]
(Hinweis: Es fehlt nichts)
Und ob etwas fehlt. Es fehlt die Angabe des Kugelradius oder des Kugeldurchmessers. Die Höhe h darf ja nicht mit dem Kugeldurchmesser gleich gesetzt zu werden. Die Höhe h ist ja stets kleiner als der Kugeldurchmesser
Egal mit welchen Größe der Bohrung bzw. Kugelradius man rechnet.
Es kommt immer das gleichen Volumen. Mal nachfolgendes Beispiel.
Also Bohrungsradius hab ich mal 0,225 angenommen.
Rechnet es mal mit anderem Bohrungsradius bzw. Kugelradius.
Kugelvolumen:
V1 = (4/3) * pi * r³
V1 = (4/3) * pi() * 0,548292804986533^3
V1 = 0,690440486471535
---
Zylindervolumen:
V2 = pi * R² * H
V2 = pi() * 0,225^2 * 1
V2 = 0,159043128087983
---
Volumen einer Kugelkappe
V3 = (pi / 3) * h² * ((3 * r) - h)
V3 = (pi() / 3) * 0,048292804986533^2 * ((3 * 0,548292804986533) - 0,048292804986533)
V3 = 0,00389929139262615
---
Volumen Kugelring
V = V1 - V2 - (V3 * 2)
V = 0,690440486471535 - 0,159043128087983 - (0,00389929139262615 * 2)
V = 0,5235987755983 m³
Ergebnis: Volumen = 0,5235987755983 m³
Naja je nachdem mit wieviel Stellen nach dem Komma rechnet gibt es natürlich Abweichungen bei Nachkommastellen.
Aber du hast das Grundprinzip das das Volumen gleich ist. Damit kannst du ja rechnen dann.
In dieser Lösung sind zu "starke" Rundungsfehler, wenn man es auf zwölf Nachkommestellen genau haben möchte.
Wenn es Dir um 12 richtige Stellen hinter dem Komma geht, dann nimm lieber das Ergebnis von TBDRM. Er kommt auf ein Kubikmetervolumen von genau pi/6. Es sind dann 0,523598775598 m^3
Egal mit welchen Größe der Bohrung bzw. Kugelradius man rechnet.
Es kommt immer das gleichen Volumen.
Das muss gezeigt werden.
Die Grafik hab ich mit einem CAD-Programm erstellt.
Das bemaßt 6 Stellen nach dem Komma. Ansonsten stimmt.
Bei V2 hab ich zu wenig Nachkommastellen gerechnet. deshalb die Abweichung.
Normalerweise ist man das nicht gewöhnt.
Sonst reichen meist so 3 Nachkommastellen.
Beim meinen 3D-CAD Programm spukt das übrigens das Ergebnis des Volumen automatisch aus. Hätte ich gleich machen sollen. 😉
Das kannst du sogar selber ausrechnen.
Volumen der Kugel, Volumen des Zylinders, Volumen der zwei Kalotten.
das liest sich sehr gut. schon mal vielen dank.
allerdings benötige ich 12 stellen hinter dem komma.
daher auch:
0,ABCDEFGHIJKL...