Was ist ein affiner Teilraum und was ein aufgespannter Unterraum?
Hallo, kann mir jemand erklären was genau ein affiner Teilraum und was ein aufgespannter Unterraum ist?
2 Antworten
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
- Ein Unterraum ist eine Teilmenge deines Vektorraums, die mit der induzierten Addition und Skalarmultiplikation selbst wieder ein Vektorraum ist. Z.B. ist die x-Achse ein Unterraum des IR².
- Wenn du eine Menge M von Vektoren hast, braucht diese im Allgemeinen kein Unterraum zu sein. Der "kleinste Unterraum", der M vollständig enthält, heißt der von M aufgespannte Unterraum. Er besteht gerade aus allen Linearkombinationen von den Vektoren aus M.
- Ein Unterraum ist ein Vektorraum, muss also auch den Nullvektor enthalten. Wenn man sich aber die Lösungen von linearen Gleichungssystemen anschaut, sieht man schnell, dass dabei auch Geraden und Ebenen usw herauskommen, die nicht den Nullvektor enthalten. Trotzdem sehen sie irgendwie wie lineare Mengen aus, nur dass sie verschoben sind. Ein affiner Unterraum ist daher definiert als ein verschobener Unterraum. Formal: Es gibt einen Vektor v und einen Unterraum U, sodass der affine Unterraum gerade v + U ist.
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
Wenn W Teilmenge V ein echter Teilraum (also ein Untervektorraum) ist, und v€V , dann ist die Menge v+W={v+w|w€W} ein affiner Teilraum.
Ein von den Vektoren v1,...,vn aufgespannter Unterraum ist die Menge
{a_1 * v1 + a_2 * v2 + ... + a_n * vn | a_1,..,a_n € K} , wobei K der zum Vektorraum gehörende Körper ist.