Warum steht vor dem m ein Existenzquantor und kein Allquantor?
Man kann doch für alle m der natürlichen zahlen ein n finden?
3 Antworten
Weil das die Aussage ist, die du formulieren sollst. Du machst dir Gedanken darüber, was gilt, das ist hier überhaupt nicht gefragt. Da steht:
"Es existieren natürliche Zahlen, die durch Zwei teilbar sind."
Also sollst du DIESE Aussage als mathematische Aussage übersetzen. Nicht irgendeine andere, von der du glaubst, dass sie gilt.
Und es wäre
nicht nur eine andere Aussage, sondern auch schlicht falsch. Denn das bedeutet ja:
Es gibt ein n aus N, so dass für alle m aus N gilt, dass n = 2m ist.
Welches n sollte das denn sein? Welches n ist das doppelte von jeder natürlichen Zahl?
Du musst die Reihenfolge der Quantoren beachten!
Du musst die Reihenfolge der Quantoren beachten. Wenn du schreibst,
Es gibt ein n, so dass für alle m gilt..
Dann musst du genau EIN n finden. Und dann musst du für dieses EINE n jeden m-Fall überprüfen. Du sagst aber, dass du für jedes/viele m ja jeweils ein spezielles n findest - aber das ist ja nicht der Punkt.
"Welches n sollte das denn sein? Welches n ist das doppelte von jeder natürlichen Zah"
Egal welche natürliche zahl man für m einsetzt man wird immer eine natürliche zahl n als Ergebnis herausbekommen bei n=2*m. M=3 => n=6; m=23 => n=46 etc
Aber du sollst nicht zu jedem m EIN n finden.
Wenn da steht, Es existiert ein n für alle m... dann heißt das, dass du ein m findest, unabhängig von m.
Ganz anderes Beispiel: Du wirst in einem Kaufhaus vielleicht für jeden Käufer eine passende Hose finden. Aber kannst du auch EINE Hose finden, in die wirklich jeder reinpasst?
Ich frage aber nicht, ob du zu jedem m ein n findest. Sondern ob du ein n findest, das zu jedem passt. Gibt es ein n, für das GLEICHZEITIG gilt
n = 2*3
n= 2*4
n= 2*5
...
Offenbar nicht, denn das muss ja jedesmal ein anderes n sein. Und nicht dasselbe n für alle m.
Korrigiere: dann heißt das, dass du ein n findest, unabhängig von m.
Deswegen ist die Reihenfolge so wichtig:
Es gibt eine Hose, die jedem Käufer passt.
Für jeden Käufer gibt es eine Hose, die ihm passt.
Zwei völlig unterschiedliche Dinge.
Hier willst du ja aussagen, dass es mindestens eine gerade Zahl gibt.
In Hosen übersetzt:
Es gibt einen Käufer, für den es eine passende Hose gibt.
Darum: Zweimal Existenzquantor.
Die Aussage ist "Es existieren natürliche Zahlen,..", das heißt "Es exixtiert (mindestens eine) natürliche Zahl ..." Dafür steht der erste Existenzquantor. Mit dem zweiten wird die Eigenschaft von n beschrieben, dass n gerade ist.
Für n=1 gibt es kein m aus N.
Für alle ungeraden n gibt es kein solches m. Aber darum geht es hier ja gar nicht.
Ist n=1 nicht irrelevant, weil 1 keine natürliche Zahl ist, die durch 2 teilbar ist? Jedes n, aus den natürlichen zahlen, das durch 2 geteilt werden kann, hat als Ergebnis ein m aus den natürlichen Zahlen. In anderen Worten es gibt kein 2*m bei dem das Ergebnis nicht ein n wäre. Heißt das nicht, dass man deswegen den Allquantor vor das m setzen muss, weil man aus jedem 2*m ein n bekommen kann?
Ist n=1 nicht irrelevant, weil 1 keine natürliche Zahl ist, die durch 2 teilbar ist? Jedes n, aus den natürlichen zahlen, das durch 2 geteilt werden kann, hat als Ergebnis ein m aus den natürlichen Zahlen. In anderen Worten es gibt kein 2*m bei dem das Ergebnis nicht ein n wäre. Heißt das nicht, dass man deswegen den Allquantor vor das m setzen muss, weil man aus jedem(für alle) m*2 ein n bekommen kann und nicht nur aus manchen(es existiert) m*2 ein n bekommt?