Warum mulitiplizieren b.z.w. addieren von Wahrscheinlichkeiten - Pfadregeln (Stochastik)
Ich mache mein Fachreferat in Mathematik - Stochastik, über das beschriften von Baumdiagrammen mit den Wahrscheinlichkeiten und die Anwendung der Pfadregeln. Super einfaches Thema, aber ich muss genau erklären warum ich bei den Pfadregeln multipliziere b.z.w. addiere. Also warum macht man das eigentlich?
3 Antworten
1. Erklärung: Die Wahrscheinlichkeitsrechnungen hier rechnen lediglich den Anteil von möglichen Fällen. Z. B. wenn man zwei Würfeln nacheinander ää… wirft, dann, um auf eine gerade Zahl dann eine drei zu kommen, gibt es 3 mal 1 Möglichkeiten. Die Anzahl von Möglichkeiten ist 6 x 6. Also rechnet man direkt W=3x1 / 6x6 und merkt, diese sei das Produkt der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
(Sorry, ich hab Addition zu erörtern. Aber der andere Mensch hat es schön formuliert. Die obigen erklärt allerdings mehr oder weniger ausführlich, warum man multipliziert.)
Wenn man nun alle dieser Zahlen zusammen multipliziert, kommt man auf die Zahl: W(ω1)·W(ω2 | ω1)·W(ω3 | ω1,ω2)· … ·W(ωk+1 | ω1,ω2,…,ωk)·…·W(ωN | ω1,ω2,…,ωN)
das war aber gerade die Frage, warum man entlang eines Pfades die W-keiten multiplizieren soll.
Per Induktion, ist dies gleich: =W(ω1,ω2,…,ωN)
das gilt aber NUR im Fall der Unabhängigkeit!
Diese Gleichung gilt doch ohne diese Bedingung:
- W(A | B) · W(B) = W(A, B) wurde oben von mir benutzt, und nicht mal
- W(A) · W(B) = W(A, B)
und zwar, schon in dem von dir zitierte Gleichung zu sehen : )
Man multipliziert, weil es funktioniert: dieses Prozess / dieser Verfahren liefert die erwünschte Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Man will wissen, was die Wahrscheinlichkeit wäre, dass (Ereignis 1, Ereignis 2, …, Ereignis N) = (ω1, ω2, …, ωN).
Bitte.
Um zu antworten, warum Multiplizieren: in diesem Prozess: weil es halt die Antwort liefert.
Aber möchtest eher die metaphysische Frage stellen: „Warum multipliziert man Wahrscheinlichkeiten, um auf die Wahrscheinlichkeit der Konjunktion von Sätze / Ereignisse zu kommen?“?
Diese wäre eine legitime Frage allgemein. Aber hier brauch man sich keine Sorge darum machen, denn schon in der Information (die Zahlen, die auf den Zweigen stehen) kodiert man genug Information, um aufs richtige Ergebnis zu kommen, nämlich Konditionalwahrscheinlichkeiten.
Diese Gleichung gilt doch ohne diese Bedingung: W(A | B) · W(B) = W(A, B)
Es war aber gerade die Frage des Fragestellers, warum diese Gleichung gilt, denn sie drückt nichts anderes, als die Multiplikation entlang eines Pfades aus.
Man multipliziert, weil es funktioniert: dieses Prozess / dieser Verfahren liefert die erwünschte Wahrscheinlichkeitsrechnung:
"weil es funktioniert" ist keine mathematische Erklärung.
W-keiten werden nicht willkürlich ausmultipliziert, weil das jemand für logisch hält. Alles hat seine mathematische Begründung, und diese ist recht kompliziert, was ich oben kurz erklärt habe.
"weil es funktioniert" ist keine mathematische Erklärung.
Mit „weil es funktioniert“ meine ich nur: man hat zuerst die Rechnung, und danach stellt das Prozess der Ausrechnung mithilfe dieses Baumdiagramms. Insofern gibt es nichts zu erklären, sondern nur zu überprüfen — nämlich ob die von das Diagramm beschreibender Rechnung mit der ursprüngliche Rechnung übereinstimmt.
Nun am Ende meines zweiten Beitrages steht:
Das einzige was man braucht, um diese Rechnung zu vertrauen, ist: W(B)·W(A|B)=W(A).
[Nanu: das sollte sein: W(B)·W(A|B)=W(A,B)]
Ich hab dies geschrieben, da, um zu überprüfen, dass die Rechnung die richtige Antwort liefert, eine Induktionsbeweis benutzt wurde, der bei jedem Schritte diese Rechnung brauchte. Diese Multiplikation ist aber nicht in Frage. Die Frage ging allgemeiner um den Algorithmus selbst.
Um aber zu erklären, warum W(B)·W(A|B)=W(A,B) gilt, wird die Antwort leider eine Enttäuschung sein: Man definiert W(A|B) so, dass diese Gleichung gilt. Das heißt, philosophisch gesehen, gibt es keine Erklären, außer davon: so definiert man das Maß. Am meisten kann man sagen: diese Definition gerade entspricht der Intuition, denn was sonst soll W(A|B) sein, als das Maß innerhalb des Raums alle Möglichkeiten, wo B geschieht, von Möglichkeiten wo A passiert.
solange du einen Pfad "runter gehst" /entlang gehst, multiplizierst du. Fängst du wieder von oben an und gehst einen anderen Weg, dass addierst du.
Ím endeffekt musst du zum ermitteln einer Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeiten aller einzelnen Pfad (diese ermittelt man über die Multiplikation) miteinander addieren.
Beispiel: Würfel 6 Seiten, Jede Seite hat Chance 1/6. Würfelst du 1x, hast du 6 Möglichkeiten. Einder der Fälle ist "richtig" (den du gewürfelt hast), Wahrscheinlichkeit ist also 1/6
Würfelst du 2x, hast du zu jeder der 6 Möglichkeiten erneut 6 Möglichkeiten. Das sind insgesamt 36 Möglichkeiten. 36 = 6² = 6*6
Nur ein Fall davon ist der, den du gewürfelt hast. Wahrscheinlichkeit ist also 1/36 oder anders geschrieben (wie oben) 1/(6*6).
Wegen den Bruchregeln kann man das jetzt aufteilen in (1/6)*(1/6)
Weil man die Möglichkeiten multiplizieren kann, kann man auch Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
Mach's 'mal konkret: Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 1 zu würfeln W(1)=1/6. Aber mit 2 Würfeln [1,1] , d.h. beide Würfel zeigen eine 1, ist W[1,1]=(1/6)*(1/6)=1/36. Das Ergebnisse auf den beiden Würfeln sind voneinander abhängig. Genügt es dir aber, dass nur auf einem der beiden Würfel eine 1 erscheint, d.h. die Prozesse und Ergebnisse sind voneinander unabhängig, ist es als hättest du die doppelte Chance, also (1/6)+(1/6)=1/3.
2. (allgemeinere) Erklärung:
Man betrachtet eine Reihe Ereignisse: E1, E2,…,EN, ein nach dem anderen. Sei nun Ω1, Ω2, …, ΩN die Räume von Möglichkeiten der entsprechenden Ereignisse.
In einem Baumdiagramm unter ein Pfad versteht man ein Tupel der Art (ω1,ω2,…,ωk), wobei k ≤ N und die ωi liegen jeweils in Ωi für jedes 1 ≤ i ≤ k.
Wenn man weiter entlang einem Pfad in diesem Baum geht, so verzweigen die Möglichkeiten, so von (ω1,ω2,…,ωk) könnte man auf entweder (ω1,ω2,…,ωk,a) oder (ω1,ω2,…,ωk,b) oder (ω1,ω2,…,ωk,c) oder … kommen, wobei {a,b,c,…} die Elemente von ΩN sind.
Jeder Verzweigung ordnet man eine Zahl zu, und zwar, zwischen (ω1,ω2,…,ωk) und (ω1,ω2,…,ωk,ωk+1) die Zahl:
Wahrscheinlichkeit, dass, wäre (Ereignis 1, Ereignis 2, …, Ereignis k)=(ω1,ω2,…,ωk), das nächste Ereignis, also Ereignis k+1, gleich ωk+1 sein könnte.
Kurz: W(Ek+1=ωk+1 | (E1,…,Ek)=(ω1,ω2,…,ωk)). -oder kürzer: W(ωk+1 | ω1,ω2,…,ωk).
Man fixiert einen Basispunkt, (), zu diesem Baum und schreib zwischen () und jedem (ω1), die Zahl W(E1=ω1).
Wenn man nun alle dieser Zahlen zusammen multipliziert, kommt man auf die Zahl:
Per Induktion, ist dies gleich:
die Wahscheinlichkeit dass E1=ω1, E2=ω2, …, und EN=ωN sein könnte.
Das einzige was man braucht, um diese Rechnung zu vertrauen, ist: W(B)·W(A|B)=W(A).