Warum kann man trotz der negativen Fläche mit der Formel berechnen ?
Warum kann man trotz der negativen Fläche von g mit der Formel:
Integral von 0 bis 3 (f(x) -g(x)). Hätte die negative Fläche keinen Einfluss?
Ich bitte um eine ausführliche Erklärung.
Vielen Dank !
5 Antworten
Wenn du von f(x) g(x) abziehst erhälst du im intervall eine neue funktion z.b. h(x) die definiert ist als f(x) - g(x)
und das ist eine ganz normale funktion von der man das Integral berechnen kann.
Und jetzt schau dir mal an was passiert wenn die die funktionswerte im intervall 0-2 voneinander abziehst:
als beispiel für x = 1:
F(1) = 3
g(1) = -1
h(1) = 3 - (-1) = 4.
Die neue funktion hat hat der stelle 1 einen funktionswert von 4. Und genau dahin "verschwindet" deine negqative fläche.
Um weiter in flächen zu denken:
Wenn du von einer Positiven fläche (Die fläche von f(x) im intervall 0:2) eine negative fläche abziehst (fläche "unter" g(x) im intervall 0:2) wird die ergebnissfläche logischerweise größer sein.
Ist wie als wenn ich: 5 - (-5) rechne. Das ergibt ja auch 10
Das ergbniss deiner Rechnugn müsste die summe der beträge der Flächen A1 und A3 sein. A2 Hebt sich durch die subtraktion auf.
Hier noch ein Zusatz für die Verwirrung zu flächen. Flächeninhalte von Integralen sind immer orientierte/gerichtete Flächeninhalte. Sie können netsprechend eine Positive sowie Negative orientierung haben. Die fläche A3 in deinem beispiel wäre defakto kein negative fläche. Sondern eine fläche mit einem negativ orientierten Flächeninhalt.
siehe dazu:
Berechne mal für g(x) das Intervall 0-2 und dann 2-3.
Die Stammfunktion ist
Du wirst feststellen, dass beide Flächen bis auf das Vorzeichen gleich sind. A3 = -4/3, A2 = +4/3
Das Intgegral f(x) liefert A1+A2.
Davon wird das Integral für g(x) abgezogen und das bedeutet A1+A2 - (+4/3 - 4/3)
Das Intervall von g(x) spielt also keine Rolle.
Wenn Du f(x)-g(x) rechnest mit oberer Grenze 3 und unterer Grenze Null, rechnest Du die Fläche zwischen den beiden Graphen aus, also hier A1+A3. Da f die größere der beiden Funktionen in diesem Intervall ist, ist auch das Ergebnis des Integrals positiv. Da man nicht immer die Graphen vor Augen hat, rechnet man bei der Flächenberechnung in der Regel die Beträge der einzelnen Integrale aus.
Anschaulich könntest Du hier beide Graphen um eine Einheit nach oben verschieben - dadurch ändert sich die gesuchte Fläche dazwischen ja nicht. Dann ist auch A3 über der x-Achse...
Ganz einfach! Das Integral berechnet die Fläche unter der Funktion bis zu Y=0. Jedoch dreht sich das um, wenn die Funktion ins Negative übergeht, also berechnet sie dann die Fläche über der Funktion bis zu Y=0.
Es gibt keine negativen Flächen.
Welche der Flächen sollst du denn berechnen ? Generell gibt es ja keine "negativen" Flächeninhalte, und du nimmst deswegen immer den Betrag von der Fläche
Achso bei dem integral von 0 bis 3. Nein mit der Formel berechnest du den Flächeninhalt zwischen 2 Graphen und nicht zwischen der x Achse.
Ich weiß, aber warum wirkt sich die negative Fläche der Funktion g nicht auf das Ergebnis aus ? Ich verstehe das nicht
Aber was stellst du dir denn unter einer negativen Fläche vor ? Zudem klappt die Formel von dir so nicht. Du sollst so wie ich das sehe alle 3 Teilflächen berechnen und die dann zusammenrechnen. Dh A1, dann den Betrag von A3 und dan noch A2.
Generell nimmst du bei negativen Flächeninhalten den Betrag.
so habe ich mir auch überlegt, im Buch steht aber, dass mit dieser Formel es ebenfalls funktioniert
Vielen Dank ! Deine Erklärung hat mit weiter geholfen