Warum ist X / 0 = infinity bzw. undefined?
Also die Zahl 0 ist ja wenn man es logisch ausdrücken möchte, die Abwesenheit einer Sache bzw. nichts. Wie kommt es dann, dass wenn ich eine Zahl durch nichts teile, am Ende die Unendlichkeit dabei rauskommt? Also wenn ich z.b. 1 Kuchen habe und diesen durch absolut gar nichts teile, dann müsste logischerweise wieder 1 Kuchen als Ergebnis der Gleichung rauskommen, denn der Kuchen wurde doch gar nicht verändert. In der Mathematik jedoch hat man sich auf das, aus meiner Sicht irrationale und völlig unnachvollziehbare, Axiom infinity/undefined festgelegt.
Bei der Multiplikation ist es ähnlich verwirrend. 1 Kuchen x nichts ergibt unlogischerweise nichts (in diesem Fall nicht infinity/undefined), wenn auch hier eigentlich 1 Kuchen als Ergebnis rauskommen sollte.
Ist das einfach nur eine arbiträre Regel auf die man sich festgelegt hat, oder steckt dahinter eine tatsächliche "Logik"?
4 Antworten
Die Antwort ist ganz einfach: es muss zwischen der theoretischen Mathematik und der praktisch anwendbaren Mathematik unterschieden werden. Auf dem Blatt Papier sind diese Axiome alle korrekt und ergeben Sinn, aber auf die reale Welt übertragen stelle ich mir auch dieselbe Frage. Das Konzept der ganzen Zahl 0 beschreibt im Grunde das Fehlen einer Sache, wie du richtigerweise erkannt hast, aber das ist für die theoretische Mathematik nicht von belang. In der Praxis sieht das natürlich anders aus, da wir nun abstrakten Variablen reale Dinge zuweisen, wie z.b. Vogel, Tür, Mensch, elektromotorische Kraft, usw.
Eine Tür also nun durch 0 zu teilen oder zu multiplizieren macht keinen Sinn, also verwirft man dieses Axiom da es zu einem widersinnigen Ergebnis führt was keinerlei praktischen Nutzen hat.
x/0 ist nicht unendlich sondern "nur" undefiniert.
unendlich ist es nur wenn man einen Grenzwert betrachtet, bei dem der Nenner gegen 0 läuft.
Du mischst bei deinen Betrachtungen sehr viel duecheinander, einiges davon hat nichts mit Mathematik zu tun sondern bestenfalls mit Philosophie
einiges davon hat nichts mit Mathematik zu tun sondern bestenfalls mit Philosophie
Die Mathematik in der Antike bis hin zur Renaissance wurde auf holistische, ganzheitliche Sicht behandelt (siehe sakrale Geometrie und die Bezüge zur Natur). Es wurde nicht zwischen Mathematik und Philosophie unterschieden, da beides teil der klassizistischen Naturphilosophie war, die man anderen unterrichtete. Wie oft hört man heutzutage in der Schule von Schülern "was bringt mir das im echten Leben" wenn sie irgendein neues Thema in Mathe lernen? Dieses Desinteresse und die Verwirrung kommt meiner Ansicht nach genau dadurch, dass wir diese Wissenschaften in der Moderne auseinandergebrochen haben und so der interdisziplinäre Bezug verloren gegangen ist. Ich finde es durchaus wichtig auch auf philosophische Weise über mathematische Axiome nachzudenken, da sie einem andere Sichtweisen vermitteln kann. Das ist aber natürlich in einem System wo jeder auf uniforme Weise zu einem produktiven, überspezialisierten Fachidioten ausgebildet werden muss, nicht erwünscht. Schade eigentlich...
Dahinter steckt in der Tat mathematische Logik.
Null ist nicht nichts, sondern eine Zahl - eine Zahl die "nichts" ausdrückt. Eine Landkarte ist ja auch etwas Anderes als die Landschaft, die sie darstellt.
Der Kuchen wird nicht nicht geteilt, sondern durch nichts geteilt, was etwas völlig Anderes ist.
Nichts und nichts und noch mal nichts ist immer noch nichts. Keinmal etwas ist ebenfalls nichts.
Wie man durch Brüche teilt, weißt du, nehme ich an?
Üblicherweise verzichtet man darauf, die Division durch 0 zu definieren - im Gegensatz zu allen anderen Divisionen wäre sie ja nicht (eindeutig) umkehrbar. Allerdings wollte man irgendwann Polstellen nicht mehr besonders behandeln, und dafür ist die einzige konsistente Möglichkeit, eine Pseudo-Zahl "unendlich" zu definieren (ohne Unterscheidung von Vorzeichen) und 1/0 = unendlich zu erklären. Der Preis ist, dass man ein paar mehr Dinge hat, die man nicht sinnvoll definieren kann, wie 0 * unendlich, unendlich / unendlich, unendlich - unendlich. Dummerweise übersteigt dies den üblichen Schulstoff so weit, dass das hier nicht so leicht zu erklären ist, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Meromorphe_Funktion
Am nächsten käme dem Konzept "Nichts" wohl noch "es existiert kein ...".
Gleichbedeutend ist "der Inhalt der leeren Menge". Aber die leere Menge ist ihrerseits nicht nichts, ebenso wie ein leerer Eimer nichts enthält, aber seinerseits nicht nichts ist (wir lassen die Luft mal außen vor - es geht um die Illustration).
Die natürlichen Zahlen fasst man üblicherweise auf als "Klassen" von Mengen mit gleich vielen Elementen, die 1 ist die Klasse der einelementigen Mengen, die 2 die Klasse der zweielementigen usw., und die 0 die Klasse der 0-elementigen Mengen (wovon es nur eine einzige gibt).
Etwas handfester ist für mich das Nichts in den üblichen Programmiersprachen (üblicherweise "null" genannt, englisch für "nichts"/"ungültig"/"nichtig"), ausgesprochen "nall". Bis vor Kurzem konnte man noch überall da, wo ein "Objekt" erwartet wird, auch null einsetzen, z. B. gibt es Autos, die PKWs sind, Autos, die LKWs sind, große Autos, kleine Autos, dreirädrige Autos, Benziner, Diesel, ..., und für Programmiersprachen auch nicht vorhandene Autos, also null. Da wird dann z. B. darauf geachtet, dass in einen 5-sitzigen PKW keine 6. Person einsteigt, und wenn sie das versucht, gibt es eine Fehlermeldung. Aber wenn jemand versucht, in ein nicht vorhandenes Auto einzusteigen, und der Programmierer vergessen hat, dass so ein Auto möglicherweise nicht vorhanden sein könnte, explodiert das komplette Programm. Dann meldet das Betriebssystem, das die Scherben aufkehren darf, "Anwendung 'Superduperprogramm' hat einen nichtwiedergutzumachenden Fehler verursacht und musste beendet werden. Fehlerbericht senden? [Ja] [Nein]"
Deine Logik macht keinen Sinn- wenn 1/0=1 Dan besteht der ursprüngliche Kuchen aus 0 Stücken der Größe 1.
Ich würde mit der Prämisse starten das 1/0 nicht definiert ist- 1/x ist per Definition das multiplikative inverse von x dh. X* 1/X=1 und da 0 kein so ein inverse hat existiert 1/0 nicht.
Wenn man jedoch sein Universum von Zahlen erweitert macht es Sinn 1/0 = inf zu setzen da das inverse von 0 (vom Betrag her) grösser als jede Zahl sein müsste.
In einen Breiten Kontext macht das auch Sinn
Z.b Folgen. Lim x_n=0 folgt lim 1/x_n = unendlich.
Das ganze funktioniert gut wenn man nur eine Unendlichkeit in seinem gewählten mathematischen Universum hat. Wenn man + und - unendlich haben möchtekann man 1/0 fast unausweichlich nicht nachvollziehbar definieren.
Danke für die Antwort. Wie wird dann das Konzept des "Nichts" in der Mathematik definiert, dass als Ergebnis wieder "Nichts" rauskommt. So wie ich "Nichts" definiere, ist das meiner Ansicht nach das Nichtvorhandensein eines Objekts oder was auch immer. Wie sieht das die Mathematik?