Warum ist die Wurzel aus einer Quadratzahl immer eine natürliche Zahl?
Warum ist die Wurzel aus einer Quadratzahl immer eine natürliche Zahl ?
danke schon im Voraus habe bald einen Test und uns wurde das leider nicht gut erklärt
4 Antworten
Per Definition, denn Quadratzahlen sind ja genau die Quadrate der ganzen Zahlen. Das ist also ein Zirkelbeweis. Wenn ich eine ganze Zahl quadriere und dann die Wurzel ziehe haben wir, wer hätte es gedacht, eine natürliche Zahl.
Das einzige was man hier schreiben könnte ist, dass eine Wurzel positiv definiert ist, also sqrt(x) >= 0 (für x>=0, was bei Quadratzahlen der Fall ist) und deswegen nicht die negativen der natürlichen Zahlen rauskommen können.
Die Funktion f : IR —> IR , f(x) = x^2 ist so nicht bijektiv, also nicht umkehrbar. Mit einer Einschränkung auf f: [0;unendlich) —> [0;unendlich), f(x) = x^2 jedoch schon. Damit lässt sich also f eindeutig umkehren und wir erhalten die Umkehrfunktion f^(-1) =: sqrt(x) : [0;unendlich) —> [0;unendlich) , f^(-1)(x) = sqrt(x)
Man sieht sqrt(x) >= 0 und x>=0.
Wahrscheinlich kennst du es, dass x^2 = a , a>=0 zwei Lösungen gibt, also + und -, doch das ist der Tatsache geschuldet, dass f(x) = x^2 nur auf einen Bestimmten „Teil“ umkehrbar ist, so bleibt also immer noch x < 0 übrig. Deswegen erhält man am Ende die Gleichung sqrt(x^2) = |x| , x € IR
Weil das Wurzelziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist…
Weil die Quadratzahlen ja genau so ausgewählt sind, dass sie die Quadrate von natürlichen Zahlen sind.
Stimmt auch nicht. Beweis:
√-4 = √4 * √-1 = 2i