Warum ist 1+1 = 2
"Weil es eben so ist" güldet nich als Antwort, ok? Kann man das eigentlich beweisen? Und wie würdet Ihr das einem ABC-Schützen erklären?
15 Antworten
Das kann man nicht beweisen!
So wird die Ziffer halt definiert und Definitionen kann man NICHT beweisen. Sie sind zufällig festgelegt worden.
Die Definitionen:
0 = gar nichts ; 1 = 0+1 ; 2 = 0+1+1 ; 3 = 0+1+1+1 ; 4 = 0+1+1+1+1 ; 5 = 0+1+1+1+1+1 ; 6 = 0+1+1+1+1+1+1 ; 7 = 0+1+1+1+1+1+1+1 ; 8 = 0+1+1+1+1+1+1+1+1 ; 9 = 0+1+1+1+1+1+1+1+1+1 ; xx = x0+x ; xxx = x00+x0+x ; xxxx = x000+x00+x0+x ; usw.
(x steht dabei für eine einzelne Ziffer)
Aus diesen Definitionen kann man z.B. beweisen dass 4 = 2 + 2 ist.
Beweis: 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Man kann allerdings nicht beweisen, dass 1 + 1 = 2 ist. So ist die Ziffer 2 halt definiert!
0 = gar nichts
Es gibt einen Unterschied zwischen 0 und gar nichts. sign(x) hat eine Unstetigkeitsstelle bei 0. f(x) = x hat keine Unstetigkeitsstelle. In IR ist die Lösungsmenge von 0=3x = {0}, für -1 = x² = gar nichts = {}
Zunächst einmal wäre es wichtig, sich selbst (und je nach Alter auch dem Schüler) mathematische Begriffe wie Axiom, Definition und Beweis klar zu machen. Sodann wären die Kenntnisse der Peano-Axiome von Vorteil (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahl).
So ausgerüstet, kann man die gestellte Frage mühelos beantworten. Ein "Es ist eben so" beweist grundsätzlich einmal nur die Unkenntnis des Lehrers.
Axiom: Zu jeder natürlichen Zahl n aus N gibt es einen Nachfolger S(n).
Axiom: Es gibt nur eine natürliche Zahl 0 aus N, die selber nicht Nachfolger irgendeiner anderen natürlichen Zahl ist.
Die Axiome der Identität lasse ich hier mal weg, weil sie für die meisten Menschen intuitiv selbstverständlich sind.
Definition der ersten paar natürlichen Zahlen: S(0)=1, S(1)=2.
Rekursive Definition der Addition: n + 0 = n sowie n + S(m) = S(n + m).
Beweis: 1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2 qed. :-))
Ein ABC-Schütze wird es in diesem Formalisierungsgrad noch nicht verstehen, aber man kann es ebenso gut an den Fingern abzählen, nach dem Motto: Nimm rechts eines weg und füge es dafür links hinzu.
Rekursive Definition der Multiplikation: n * 0 = 0 sowie n * S(m) = n * m + n
Beweis: 1 * 1 = 1 * S(0) = 1 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1 qed. :-))
Wie gesagt: Ein ABC-Schütze wird diesen Formalisierungsgrad noch nicht verstehen. Bitte beachte genau, was in meiner Antwort als Axiom, als Definition und als Schlussfolgerung gekennzeichnet ist, und beschäftige Dich doch mal ein bisschen mit den Peano-Axiomen. Dann werden alle Deine Einwände entkräftet.
Zusammenzählen bedeutet, mit Zahlen etwas von einer Einheit hinzuzufügen. Dem ABC-Schützen kann dies am besten mit konkreten Gegenständen erklärt werden. Wenn er einen Schuh anhat und danach noch einen weiteren Schuh anzieht, hat er zwei Schuhe an. Dann ist von der Einheit "Schuh" zu der einen schon vorhandenen genau noch einmal diese Einheit hinzugekommen. Die Ziffern sind eine Verabredung, wie die Zahlen aufgeschrieben werden. Sonst könnten die Zeichen nicht von allen gut verstanden werden.
Nein, man kann es nicht beweisen. Es ist einfache eine axiomatische Festlegung. Letztendlich ist z.B. die Menge aller reellen Zahlen mathematisch gesehen ein sogenannter Körper. Und die Addition ist nicht als eine auf dem Körper def. Verknüpfung. Damit beschäftigt sich das math. Teilgebiet der Algebra. Wie so häufig kann man dies auch nachlesen in der Wikipedia. Dort muss man suche nach Körper (Algebra).
die Zahlen 0 bis 9 sind lediglich Namen für eine definierte Summe oder Anzahl. Hat man etwas und genau noch mal etwas, so nennt man das zwei mal etwas. Die Namen sind bedeutungslos und dienen nur dem gemeinsamen Verständnis. Daher ist die ganze Frage unsinnig.
Die Antwort "es ist eben so" ist richtig! 2 wird eben als die nachfolgende Ziffer von 1 definiert, anders formuliert 1+1.
Dein "Beweis" ist nur eine erfundene (?) Umschreibung von 1 + 1, indem du angenommen hast, dass S(n) = n + 1 ist.
Du kannst aber wiederrum nicht beweisen dass S(0) = 1 und S(1) = 2 ist. Das ist einfach so definiert.
Du beweist also gar nichts, sondern schreibst die Gleichung 1 + 1 in eine erfundene (oder ist sie doch nicht erfunden?) Notation um und formulierst in dieser Notation die Definition von 1 und 2.
Die Ziffer 2 ist halt definiert als 1 + 1 und dies lässt sich nicht beweisen, da es einfach so definiert ist (wie gesagt: Du hast die Gleichung 1 + 1 nur in eine Notation umgeschrieben).