Warum hat eine Gleichung 3. grades mindestens eine Lösung?

Das kommt halt daher, dass eine Funktion 3. Grades monoton steigend ist. Deswegen verläuft sie IMMER an MINDESTENS EINER Stelle durch die x-Achse!

Nun, ganz so absolut kannst du das auch nicht sagen. Aus rein reellen Koeffizienten lässt sich keine Gleichung 3. Grades machen, die nicht wenigstens eine reelle Lösung hätte.
Aber die folgende Gleichung hat gleich 3 imaginäre Nullstellen und keine reelle:

f(x) = x³ - 6ix² - 11x + 6i

Die Nullstellen sind
x₁ =   i
x₂ = 2i
x₃ = 3i

Dazu musst du dir nur klar machen, wie denn eine Funktion dritten Grades verläuft. Sie verläuft sowohl gegen Plus-Unendlich als auch gegen Minus-Unendlich.

Das wäre doch gar nicht möglich, wenn die Funktion keine Nullstelle hätte; sie kommt aus dem unendlich großen Bereich und geht gegen unendlich hohe Werte ; aus stark negativen Werten wurden stark positive. Damit das möglich ist, muss die x-Achse zumindest einmal geschnitten oder berührt werden.

Du kannst es dir anhand der Extrema vorstellen ; du hast sowohl einen Hoch- als auch Tiefpunkt ; die x-Achse muss zwingend geschnitten oder berührt werden, damit dies möglich ist.

http://www.math.kit.edu/iag2/lehre/pro-lehr2006w/media/praesentation-nullstellen.pdf

Zitat von dieser Webseite -->

Kubische Polynome sind Polynome dritten Grades.

Geometrisch beschreibt die reelle Variante der kubischen Gleichung eine
kubische Parabel in der x-y-Ebene, die immer von −∞ bis +∞ (a >0) bzw. von +∞ bis −∞ (a <0) läuft.

Deshalb muss es stets mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse
geben, d.h. mindestens eine reelle Nullstelle.

  Sie hat HÖCHSTENS drei Wurzeln, nicht mindestens. Ich weiß jetzt allerdings nicht, welche Art Antwort dir mundet.

  Es gibt ===> Zahlenkörper wie die ===> komplexen Zahlen, die sind ===> algebraisch abgeschlossen ===> Fundamentalsatz der Algebra . Und dann allerdings zerfällt dein Polynom in genau drei Linearfaktoren.