Warum folgt aus Differenzierbarkeit, Stetigkeit?
2 Antworten
Weil eine Funktion an einem unstetigen Punkt (zum Beispiel bei einer Singularität) nicht definiert ist und demnach nicht differenziert (abgeleitet) werden kann.
Eine an jedem Punkt stetige Funktion muss allerdings nicht zwangsläufig an jedem Punkt differenzierbar sein.
- Treppenfunktion hat keine Singularitäten (Pole).
- An den Punkten, wo es „Sprünge“ gibt ist sie auch nicht stetig und demnach nicht differenzierbar. Anders als an den Punkten, die auf den Konstanten liegen.
Treppenfunktion hat keine Singularitäten (Pole).
Das ist korrekt. Aber deine Hauptaussage war, dass Funktionen an Unstetigkeitsstellen nicht definiert sind - dass dafür eine Singularität notwendig ist, hast du nie behauptet. Und Treppenfunktionen sind ein Gegenbeispiel für diese Hauptaussage.
Ferner können auch Funktionen mit Singularitäten stetig sein, da "Stetigkeit" nur bedeutet, dass die Funktion in jedem Punkt des Definitionsbereichs stetig ist.
An den Punkten, wo es „Sprünge“ gibt ist sie auch nicht stetig und demnach nicht differenzierbar. Anders als an den Punkten, die auf den Konstanten liegen.
Auch das ist korrekt. Die Fragestellung lautet: Warum ist sie an den Sprungstellen nicht differenzierbar? Alles was ich sage ist doch, dass die Antwort "Weil sie an Sprungstellen nicht definiert ist" nicht stimmt.
Ok, dann kam die Frage bei falsch an. Oder ich konnte meine Gedanken nicht sortieren.
In Prosa gesprochen, differenzierbare Funktionen haben einen glatten Verlauf, erst Recht keine Sprünge, und sind daher stetig. Man kann es auch formal betrachten, wenn der Differentialquotient existiert, dann kann man in dessen Nenner die Stetigkeit direkt ablesen. Der muss nämlich im Limes gegen Null gehen, weil auch der Nenner gegen Null geht.
Du meinst sicher:
dann kann man in dessen Zähler die Stetigkeit direkt ablesen
Da würden dir bereits einige Treppenfunktionen widersprechen, z.B. diese hier.