Wann weiß ich mit dem Limes wann eine Funktion stetig ist?
Wieso ist die Funktion stetig außer bei x0=0.
Nr22 a)
Die anderen Funktionen sind überall stetig. Und wenn ich den Grenzwert bilde und 0 einsetze kommt bei beiden Funktionen 0 raus. Daher muss sie stetig sein?
1 Antwort
a) ist für 0 nicht stetig, weil
lim(x->0) f(x)
= lim(x->0) sin(1/x)
= lim(x->unend) sin(x) nicht existiert.
Um Stetigkeit zu zeigen, muss man zeigen, dass aus jeder Annäherungsrichtung für x, an die betrachtete Stelle, der Grenzwert gleich dem Funktionswert ist.
Im Fall von IR->IR gibt es nur die positive und die negative Richtung.
Also
Stetig in x0, wenn:
lim(x->x0 +) = lim(x->x0 -) = f(x0) € IR
Gleichbedeutend mit
lim(x -> x0) = f(x0) € IR
Also insbesondere muss der Limes existieren.
Außerdem sind alle ganzrationalen Funktionen stetig
Und die Komposition von stetigen Funktionen ist stetig
Auf Grund der letzten beiden Eigenschaften muss man häufig nur die Übergänge zwischen den verschiedenen Definitionen betrachten.
Nein, bei sin(1/x) kommt nicht 0 raus
1/x geht gegen unendlich
Also kommt man keinem festen Wert näher sondern der Wert wird bei Annäherung an 0 immer weiter immer größer. Ohne Ende.
Daher nimmt auch Sinus als periodische Funktion keinen festen Wert an, sondern geht sozusagen immer weiter die Wert zwischen -1 und 1 durch.
Achsoooo. Jetzt hab ich es verstanden! Vielen vielen Dank!
Aber wenn ich ja den Grenzwert nach 0 bilde bei sin(1/x) kommt eigentlich 0 raus. Wenn ich bei der anderen Funktion den limes nach 0 bilde kommt ebenso 0 raus.