Wahrscheinlichkeitsrechnung: Welchen Wert hat die Variable k, also die Anzahl der "Versuche", bei dieser Aufgabe?
Hallo,
Ich bin gerade dabei eine Aufgabe zu lösen, und zwar vom Typ ohne zurücklegen, und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Ich hab auch einen Rechenansatz, weiß aber nicht, was bei der Aufgabe die variable k ist, also die Anzahl Wie oft das Ereignis passiert.
Frage: in einem Betrieb gibt es 10 Telefone, jedes Telefon kann mit jedem verbunden werden. Wie viele Verbindungen sind möglich?
--> was ist hier denn jetzt die Anzahl des Ereignisses? (sonst war es ja immer die Zahl, wie oft man eine Kugel gezogen hat oder gewürfelt hat...)
Mein Ansatz:
n=10 ; k=10 (?)
n! / (n-k)! * k !
--> 10! / (10-10)!*10!
= 1
Das kann aber ja irgendwie nicht stimmen, oder??
Mein Problem liegt bei der variable k....
Vielen dank im voraus :)"
7 Antworten
Die von dir verwendete Formel mit dem Binomialkoeffizienten macht hier überhaupt keinen Sinn, es ist viel einfacher.
Du hast 10 Telefone. Von jedem dieser Telefone kannst du eine Verbindung zu neun anderen Telefonen (sich selbst anrufen geht ja nicht) bekommen. Das wären 10 * 9 = 90 Verbindungen. Nun macht es für die Verbindung aber keinen Unterschied, ob du von A nach B oder von B nach A verbindest, da kommt das gleiche bei heraus. Also musst du noch durch 2 teilen, damit kommst du auf
10 * 9 / 2 = 45 mögliche Verbindungen.
Alternativ kannst du das auch anders ausrechnen, denk dir dazu die 10 Telefone als 10 Punkte auf dem Papier aufgemalt, eine Verbindung ist dann ein Strich zwischen den beiden Punkten:
Das erste Telefon kann mit 9 anderen verbunden werden. Das zweite Telefon ist bereits mit dem ersten verbunden, kann also nur noch mit 8 anderen verbunden werden. Das dritte Telefon ist mit 2 Telefonen bereits verbunden, bleiben noch 7,..... das neunte Telefon ist bereits mit 8 Telefonen verbunden, bleibt noch 1, das zehnte Telefon ist dann bereits mit allen verbunden.
Macht insgesamt 9+8+7+6+5+4+3+2+1 Verbindungen, auch das ergibt 45.
Warum sollte das so sein? Gefragt ist nach der Anzahl der Verbindungen, warum interpretierst du die Aufgabe um?
Ach, und wenn du unbedingt die Formel benutzen willst: Eine Verbindung entspricht einem Paar von Telefonen, bei dem die Reihenfolge egal ist, also einer 2-elementigen Teilmenge der 10-elementigen Menge der Telefonde. Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Grundmenge an.
Also: k=2.
Also:
Hier wurden ja schon einige Antworten gegeben, aber zum Teil sind sie einfach nur falsch.
Wie viele mögliche Verbindungen gibt es?
Also:
Das erste Telefon T1 hat genau 9 hypothetische Partner.
Wenn T1 sich mit einem der anderen Telefone verbunden hat, brauchst du T1 und das andere Telefon nicht mehr zu beachten, denn die hängen ja jetzt zu sammen.
Jetzt hast du noch 8 Telefone.
Von diesen 8 Telefonen nimmst du dir eines und schaust, wie viele mögliche Partner es hat.
Es sind 7.
Jetzt schmeißt du auch diese beiden Telefone raus, denn du hast ja ein nächstes Paar gebildet.
Jetzt hast du noch 6 Telefone.
Davon nimmst du dir wieder eines, und siehst, dass es sich mit einem der 5 anderen Telefone verbinden kann.
Auch dieses Pärchen lässt du nun in Ruhe.
Jetzt hast du noch 4 Telefone.
Auch davon nimmst du dir wieder eines, und verbindest es mit einem der verbliebenen 3 Telefone.
Dann hast du nur noch 2 Telefone übrig und somit das letzte mögliche Paar gefunden.
Somit hast du 9+7+5+3+1 = 25 mögliche Kombinationen.
Allgemeine Herleitung:
Sei n die Anzahl an Pärchen, und somit 2n die Anzahl der Telefone.
Das 2nte Telefon hat hat noch genau 2n - 1 mögliche Partner.
Dann wirfst du dieses Paar heraus und es gibt noch n-1 Pärchen also 2n-2 Telefone und somit noch 2n-2 - 1 = 2n - 3 mögliche Partner.
Wenn du jetzt genau hinschaust siehst du dass die Anzahl an möglichen Partnern immer eine ungerade Zahl ist, weil ja die Zahl der hypothetischen Partner immer um eines kleiner ist als die Zahl der noch verbliebenen Telefone.
Am Anfang hatten wir noch 2n-1 mögliche Partner. 2n-1 ist die nte ungerade Zahl.
Dann bildeten wir ein Paar und wir hatten zwei Telefone weniger, und somit hatten wir auch zwei Hypothetische Partner weniger. 2n - 2 -1 = 2n - 3 und das ist die (n-1)te ungerade Zahl, weswegen wir auch 2(n-1) - 1 schreiben können.
Dann haben wir das zweite Paar gebildet, und haben noch n-2 Paare, also 2(n-2) Telefone und somit noch 2(n-2)-1 hypothetische Partner.
Wir können jetzt so lange Pärchen rausschmeißen, bis wir nur noch eines übrig haben. Beim letzten Pärchen ist ja die Zahl an hypothetischen Partnern nur noch 1, und das ist die erste ungerade Zahl.
Nach jedem Schritt haben wir ja eine bestimmte Anzahl an möglichen Partnern.
Zuerst 2n-1, weswegen wir für diesen Schritt noch 2n-1 Verbindungsmöglichkeiten haben. Dann kommen im zweiten Schritt noch 2(n-1) - 1 mögliche Partner und somit noch 2(n-1)-1 mögliche Verbindungen dazu.
Dann kommen im dritten Schritt noch 2(n-2)-1 Verbindungsmöglichkeiten hinzu.
Nach dem kten Schritt hast du also noch 2(n-k) -1 Verbindungsmöglichkeiten.
Somit kann man sagen dass die Zahl der Verbindungsmöglichkeiten bei 2n Telefonen (2n-1) + (2(n-1)-1) + (2(n-2)-1) + ... + 1 ist.
Diese Summe ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen und das ist immer n².
Die 5. ungerade Zahl ist 9.
9+7+5+3+1 = 25 = 5²
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
Ach Mist!
Ich hab ja jetzt gesagt, dass du die Summe aus den ersten n ungeraden Zahlen bilden musst, aber das ist falsch!
Du musst das PRODUKT aus allen ungeraden Zahlen unterhalb deiner Telefonanzahl bilden, weil wir ja bei der Kombinatorik sind!
Somit hast du für deine 10 Telefone 9*7*5*3*1 = 945 Möglichkeiten!
Sorry! War erst heute Nacht um 2 Uhr wieder zu Hause und hab nicht viel gepennt! :D
Hallo,
es gibt für diese Aufgabe auch eine Summenformel:
Die Zahl aller Verbindungen, die zwischen n Telefonen hergestellt werden können, läßt sich nach:
(n²-n)/2 berechnen.
Wenn Du nun für n=10 eingibst, bekommst Du (100-10)/2=45 heraus.
Dieselbe Formel gilt für die Summe der Seiten und Diagonalen beliebiger Vielecke.
Herzliche Grüße,
Willy
Das ist falsch! Es gibt genau 21 mal so viele Möglichkeiten!
(Siehe meine Antwort oben.)
Du kannst in der Aufgabenstellung kein Telefon mit mehreren gleichzeitig verbinden!
Das ist auch genau das, wo ich bei meiner Lösung genau drauf geachtet habe!
Hallo:) Die Antwort darauf ist 45, weil es 10 mögliche Kugeln(Telefone) mit jeweils einer möglichen Verbindungen, also zweimaliges Ziehen der Kugeln gibt. n=10 und k=2. Da bei den Telefonen die Reihenfolge egal ist, also wer wen anruft und man die (Telefone)/Kugeln nicht zurücklegt, muss man diese Formel benutzen: (n!) / (k! * (n-k)!)= Anzahl der Möglichkeiten. Wenn man da dann jetzt 2 und 10 einsetzt, kommt 45 heraus.
Ich denke die lösung davon ist einfach 10! Also das ausrufezeichen als fakultät :D
Nein, das ist nicht richtig. Stell dir mal vor, du hättest 4 Telefone. Mal dir die mal auf, und verbinde. Bekommst du da 4! = 24 Verbindungen hin?
Oder noch simpler: Auf wie viele Weisen kannst du 2 Telefone verbinden? Auf eine, nicht auf 2! =2.
Richtig!
Du musst nämlich nicht die Fakultät aus allen n Zahlen, sondern das Produkt aus allen ungeraden Zahlen die kleiner als n sind!
Somit kommst du bei 10 Telefonen auf 9*7*5*3*1 = 945 mögliche Kombinationen.
(Die Begründung kannst du oben in meiner Antwort nachlesen! :) )
Ich denke mal es geht um Verbindungskombinationen, und nicht um die Anzahl der Verbindungen selbst.