Stochastik: Parkplatz mit 8 Stellplätzen...
Hallo zusammen!
Ich sitze hier gerade an einer Aufgabe, die mir wirklich Kopfzerbrechen bereitet...
Aufgabe:
Auf einem Parkplatz mit 8 Stellplätzen in einer Reihe werden 5 silbergraue und 3 rote Autos in zufälliger Anordnung abgestellt. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei roten Autos nebeneinander stehen? (Hinweis: Man ermittle zunächst die Wahrscheinlich- keit des komplementären Ereignisses)
Ich habe mir nun für mich selber gesagt, dass die Stellplätze einfach eine typische Urne darstellen, wie man sie sonst schon aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennt. Die silbernen Autos wären dann silberne Kugeln und die roten Autos eben rote Kugeln. Wie hoch ist also die Wahrscheinlichkeit, wenn man bei acht mal ziehen ohne zurücklegen hintereinander zwei rote Kugeln zieht?
An sich wäre somit die Aufgabe "umgeschrieben"... nur eine Lösung wäre super. Denn ich habe keine Ahnung wie das rechnen soll. Bitte nichts von Baumdiagrammen erzählen :D Ich will rechnen nicht malen...
Ich bin für jede hilfreiche Antwort dankbar!
2 Antworten
Ich hoffe, dass meine Antwort noch früh genug kommt und dir weiterhilft. Die Wahrscheinlichkeit erhält man ja dadurch, dass man die Anzahl der für ein Ereignis günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle teilt.
Die für diese Aufgabe möglichen Fälle errechnet man durch 8!/(5! x 3!), da es 8 Autos sind, welche man in 2 Gruppen, zu jeweils 5 und 3 Autos einteilen kann.
Also: 56
Wie im Hinweis als Tipp gegeben, betrachten wir nun nicht die Anzahl aller Möglichkeiten, in denen zwei rote Autos NICHT nebeneinander stehen, sondern, dass 2 rote Autos nebeneinander stehen.
Die Möglichkeiten dieses Komplemenärereignisses kann man wie folgt errechnen.Hierbei steht (S) für ein silbergraues und (R) für ein rotes Auto. Man denkt sich also, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass zwei rote Autos nebeneinander in der Reihe stehen.
Platzierung der beiden Autos auf die ersten beiden Plätze der Reihe:
RR RSSSSS
Man sieht also, dass das dritte rote Auto unter den restlichen 6 Plätzen an 6 verschiedenen Positionen stehen kann.
Daraus ergeben sich für den Fall, dass die beiden zusammenstehenden roten Autos an Position 1 und 2 stehen 6 Möglichkeiten.
Nun können die beiden Autos außerdem an 2./ 3. , 3./ 4. usw. Position stehen. Also kann man die 2 Autos auf 7 verschiedene Möglichkeiten in einer 8er-Reihe nebeneinander stellen.
Aus jeder dieser 7 verschiedenen Möglichkeiten ergeben sich wiederum verschiedene Möglichkeiten, das dritte Auto auf die verbleibenden 6 Plätze zu stellen. Diese Anzahl der Möglichkeiten beträgt jeweils aber nur noch 5 und nicht 6, wie anfangs, da sich jeweils eine vorangegangene Möglichkeit der Platzierung wiederholt.
Bsp:
Autos an Pos 1 und 2:
(RR) RSSSSS
Autos an Pos 2und 3:
R (RR) SSSSS
Eine Möglichkeit der Platzierung des dritten roten Autos auf die verbleibenden Parkplätze überschneidet sich also mit einer zuvor bereits gezählten Möglichkeit.
=> Es ergeben sich also 6 + 5 x 5 = 31 Möglichkeiten dafür, dass 2 rote Autos nebeneinander stehen.
Die Anzahl der Möglichkeiten für das Komplementär-Ereignis beträgt demnach 56-31 = 25.
Daraus folgt eine Wahrscheinlichkeit von 25/56 oder 44,64 %
So habe ich die Aufgabe "interpretiert". Ich hoffe, dass ich keine Denkfehler gemacht habe.
Zunächst: vielen lieben Dank für deine Antwort!
Musste die Übung mittlerweile abgeben. Ist aber halb so wild. Ich hatte zum Schluss folgendes Ergebnis:
P(quer)= (7 x 6 - 6)/(8! / (3! x 5!)) = 9/14
P(nicht rr)= 1 - P(quer) = 1 - 9/14 = 5/14
Ich habe KEINE AHNUNG ob das stimmt... aber das sehe ich dann nächste Woche. Dennoch vielen Dank!
mE geht das mit dem Urnenmodell so nicht; ich geh davon aus, dass man die roten bzw die grauen autos untereinander unterscheiden kann; komplementär dass 2 rote nebeneinander stehen; anzahl der gesamten möglichkeiten 8 unterscheidbare objekte auf 8 plätze ist 8! ( 8 fakultät)und jetzt noch ausloten, wieviele möglichkeiten gibt es r1;r2;r3 und davon 2 stück nebeneinander zu stellen auf 8 plätzen und dann ergebnis durch 8! teilen und dann ergebnis von 1 abziehen.