Wahrscheinlichkeitsexperiment sieben Schrauben sieben Muttern?
Haben in Mathe ein Aufgabe bekommen in welcher wir die Wahrscheinlichkeit berechnen müssen, dass man bei sieben Schrauben und sieben Muttern(man nimmt sich zufällig eine Schraube und eine Mutter) nach dreimal ziehen mindestens 1 passendes paar hat.
sind auf viele verschiedne Ergebnisse gekommen :D Vielleiht kennt jemand diese Aufgabe und weiß wie man sie löst. Im Internet steht der Lösungsweg:
p(mind. 1 passt) = 1-P(keine passt)=1-(4/73/72/7)
Aber wie kommt man darauf
Grüße
3 Antworten
Hallo,
nimm an, Du wählst drei von sieben Schrauben aus.
Das ist ein sicheres Ereignis und wirkt sich daher auf das Ergebnis nicht weiter aus.
Nun hast Du in einer Schachtel sieben Muttern, von denen drei zu den ausgewählten Schrauben passen und von denen vier zu keiner der drei Schrauben paßt.
Du berechnest nun am besten die Wahrscheinlichkeit dafür, daß keine der drei ausgewählten Muttern zu den drei Schrauben paßt, weil das das einzige Ergebnis ist, das Du nicht gebrauchen kannst. Alle anderen möglichen Ergebnisse (eine, zwei oder drei Muttern passen), ergänzen dieses Ergebnis dann zu 1, denn eine der insgesamt vier Möglichkeiten trifft auf jeden Fall ein.
So erklärt sich die 1-.
Der Rest ist klar: Wahrscheinlichkeit, daß die erste Mutter nicht paßt, ist 4/7, denn es ist eine von 4.
Nun aber wird die Internetlösung falsch.
Du hast eine Mutter gezogen, die zu 4/7 falsch war.
Jetzt sind noch 3 falsche von insgesamt 6 verbliebenen Muttern in der Schachtel.
Wahrscheinlichkeit, eine davon zu erwischen: 3/6=1/2.
Beim dritten Ziehen sind noch 2 von 5 Muttern falsch. Wahrscheinlichkeit: 2/5, falls die beiden Muttern davor falsch waren - aber genau dies berechnest Du ja).
So kommst Du auf 1-((4/7)*(1/2)*(2/5)).
Herzliche Grüße,
Willy
Du kannst es auch über die hypergeometrische Verteilung lösen:
p=1-[(4 nCr 3)*(3 nCr 0)]/(7 nCr 3)
a nCr b ist der Binomialkoeffizient a!/[b!*(a-b)!] mit b<=a
Du hast vier falsche Muttern, von denen Du drei auswählst, daher 4 nCr 3.
Von den drei passenden soll keine dabei sein: 3 nCr 0.
Insgesamt wählst Du drei von sieben Muttern aus:
7 nCr 3.
Schreib die Aufgabe hin. Wörtlich.
Der Ansatz ist ℙ[≥1 passt] = 1– ℙ[¬(≥1 passt)] = 1 –ℙ[0 Matches]. Also müssen wir ℙ[0 Matches] berechnen. Aber halt! Wir müssen zuerst die Situation einfacher modellieren. Es gibt 2 Mengen (n=7 Schrauben und n=7 Mütter). Die sind gepaart. Wir können die Mengen also im Grunde durch EINE Menge ersetzen (n=7 Elemente) und fragen, wenn ich aus der Menge zweimal k=3-elementige Teilmenge beziehe, wie wahrscheinlich es ist, dass diese 2 Teilmengen disjunkt sind. Warum geht das? Der erste Zug ~ die k=3 Mütter; und der zweite Zug ~ die k=3 Schrauben. Da sie gepaart sind, entspricht ein Match zw. Müttern und Schreiben einem nicht leeren Schnitt beim zweimaligen Beziehen einer k-elementigen Teilmenge.
Also seien X1, X2 unabhängige zufällige k-elementige Mengen von der n-elementigen Menge {1,2,…,n}. Die „Verteilungen“ von X1 und X2 sind beide identisch und gleich der gleichmäßigen Verteilung, d. h.
ℙ[X1=A] = ℙ[X2=A] = 1/N
für alle A ⊆ {1,2,…,n} mit k Elementen. Hierbei gilt
N := # k-elementiger Teilmenge = (n über k).
Gut soweit. Jetzt berechnen wir allgemein:
ℙ[X1 ∩ X2 = Ø]
= ∑{ℙ[X1 = A und X2 = B] : A, B ⊆ {1,2,…,n} mit #A=#B=k und A∩B=Ø}
= ∑{ℙ[X1 = A]· ℙ[X2 = B] : A, B ⊆ {1,2,…,n} mit #A=#B=k und A∩B=Ø}
weil X1,X2 unabhängig
= ∑{1/N · 1/N : A, B ⊆ {1,2,…,n} mit #A=#B=k und A∩B=Ø}
= ∑{1/N·∑{1/N : B ⊆ {1,2,…,n}\A mit #B=k} : A⊆{1,2,…,n} mit #A=k}
= ∑{1/N · (n–k über k)/N : A⊆{1,2,…,n} mit #A=k}
= (n über k) · 1/N · (n–k über k)/N
= (n–k über k)/(n über k) weil N = (n über k)
Darum ℙ[0 Matches] = ℙ[X1 ∩ X2 = Ø] = (7–3 über 3) / (7 über 3) = (4·5·3/3!) / (7·6·5/3!) = 4/35. Folglich ℙ[≥1 passt] = 1–ℙ[0 Matches] = 31/35 ≈ 88,57%.
Danke für deine Unfangreiche Rechnung, mein Lehrer hat’s mit einem Baumdiagramm gemacht :D. Aber großes Lob seinerseits, dass du das du das mit Disjunkten Teilmengen gelöst hast ^^
Ja, geht auch. Ich hätte es mit nem einfachen Bild von Mengen und Teilmengen gezeigt, vllt auch mit Baum. Mit Texteditoren bin ich schließlich auf gute alte Symbolik angewiesen : )
Übrigens, die allgemeine Variante wie folgt. Angenommen, du hast folgende Angaben:
- n-Elementige Menge von zu ziehenden Gegenständen {1,2,…,n}
- du ziehst zwei Mengen X₁ und X₂ mit #X₁=k₁ und #X₂=k₂, wobei 0≤k₁,k₂≤n
- X₁, X₂ unabhängig und jeweils uniform verteilt, d. h.
ℙ[X₁=A und X₂=B] = ℙ[X₁=A]·ℙ[X₂=B]; und
ℙ[X₁=A] = 1/N₁; und
ℙ[X₂=B] = 1/N₂
für A⊆{1,2,…,n} mit #A=k₁ und B⊆{1,2,…,n} mit #B=k₂, wobei N₁ = (n über k₁) und N₂ = (n über k₂).
- du willst wissen, was die W-keit von #(X₁ ∩ X₂) = r ist, wobei 0≤r≤min{k₁,k₂}.
(In deinem Problem galt n=7, k₁=k2=3, und r=0.)
Mittels kombinatorischer Argumente berechnen wir
#{(A,B) | A⊆{1,2,…,n}, #A=k₁ und B⊆{1,2,…,n}, #B=k₂ und #(A ∩ B) = r}
= #{∏ | ∏ eine Partition von {1,2,…,n} in 4 Teile
bestehend aus jeweils r, k₁–r, k₂–r und n–(k₁+k₂–r)
Elementen}
= n! / r!(k₂–r)!(k₁–r)!(n–k₁–k₂+r)!
=: (n über r, k₁–r, k₂–r)
darum wegen Unabhängigkeit und der gleichmäßigen Verteilungen
ℙ[#(X₁ ∩ X₂) = r] = #{(A,B) | ...wie oben...} / N₁·N₂
= (n über r, k₁–r, k₂–r) / (n über k₁)(n über k₂)
Man kann das vereinfachen, aber ich lasse es mal so.
Ist sicher mit Zurücklegen. Da man konkret immer 1 Mutter und eine Schraube nimmt, ist die P immer 1/7 sowohl für Schraube als für die Mutter zum Zusammen bringen! Und (+) du tust dies 3mal hintereinander!
Dann musst du die 3/7(Muttern) mit den 3/7 (Schrauben) kombinieren!
Von 7 schrauben und 7 Muttern gehört jeweils eine Schraube genau zu einer Mutter. Es werden drei Schrauben und drei Muttern ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein paar zusammengehört?