Volumen einer Pyramide verdoppeln?

1. wie verändert sich das volumen einer pyramide, wenn man alle längen verdoppelt?

h = 4
a = 3

2. wie verändert es sich, wenn man es zu 30% verdoppelt?

Answer 1

[precursor]

V_1 = (a ^ 2) * h / 3

q = 1 + p / 100

V_2 = (q * a) ^ 2 * (q * h) / 3

k = V_2 / V_1

k = ((q * a) ^ 2 * (q * h) / 3) / ((a ^ 2) * h / 3)

k = q ^ 3

k = (1 + p / 100) ^ 3

Nun zu deinen Aufgaben :

1.)

Eine Verdopplung ist eine Erhöhung um 100 %, also p = 100

k = (1 + 100 / 100) ^ 3 = 8

Wenn also a und h jeweils um 100 % erhöht werden, dann erhöht sich das Volumen um das 8-fache.

2.) Eine Erhöhung um 30 %, also p = 30

k = (1 + 30 / 100) ^ 3 ≈ 2,197

Wenn also a und h jeweils um 30 % erhöht werden, dann erhöht sich das Volumen zirka um das 2,197-fache.

Answer 2

[SebRmR]

Was hindert dich, es mit den gegeben Werten bei 1 auszurechnen?

$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ bei einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche:
$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$

für h = 4, a = 3 $V\ =\ \frac{1}{3}\cdot9\cdot4\ =\ 12$

für h = 8 und a = 6
$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot36\cdot8\ =\ 96$

96 ist das achtfache von 12.

.

Wenn man sich jetzt fragt, ob es immer das achtfache ist oder nur bei diesen Zahlen, kann man es man allgemein rechnen [oder man rechnete weiter Zahlenbeispiele aus].

a verdoppeln = 2a, h verdoppeln = 2h
Das jetzt in die Formel fürs Volumen einsetzen:
$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot\left(2a\right)^2\cdot2h$ das ausrechnen
$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot4a^2\cdot2h\ =\ \frac{8}{3}a^2h$

Und wenn man das mit den Volumen ohne Verdoppelung vergleicht
$\frac{1}{3}a^2h\ \ \ \ vs\ \ \ \frac{8}{3}a^2h$ sieht man hoffentlich, dass 8/3 das achtfache von 1/3 ist.

.

Und bei 2. statt dem Faktor 2 (2a und 2h) den Faktor 1,3 (1,3a und 1,3h) einsetzen.
$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot\left(1,3a\right)^2\cdot1,3h\ =\ \frac{1}{3}1,69a^2\cdot1,3h\ =\ \frac{1}{3}\cdot2,197\cdot a^2h$ Wenn man das wieder vergleicht
$\frac{1}{3}a^2h\ \ \ \ vs\ \ \ \ \frac{1}{3}\cdot2,197\cdot a^2h$

(Ich weiß nicht, warum hier die Brüche nicht richtig dargestellt werden)

.

Man kann auch statt konkreten Zahlen (2 oder 1,3 oder...) allgemein einen Faktor (ich nenne ihn b, b ≠ 0) einsetzen
$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot\left(ba\right)^2\cdot bh\ =\ \frac{1}{3}\cdot b^2\cdot a^2\cdot bh$ Da kann man noch die Reihenfolge ändern:
$V\ =\ \frac{1}{3}\cdot b^2\cdot b\ \cdot a\cdot h\ =\ \frac{1}{3}\cdot b^3\cdot ah$

Answer 3

[Tannibi]

1. Die Längen spielen keine Rolle.

Wenn man alle verdoppelt, vergrößet sich das Volumen
auf das 2³ = 8fache.

Was heißt "zu 30% verdoppeln"? Schreib die Aufgabe hin. Wörtlich.

Comments

[dasdingdahinten]

alle längen zu 30% verlängern

[Tannibi]

@dasdingdahinten

Dann vergrößert sich das Volumen auf das 1.3^3 = 2.2fache.

[dasdingdahinten]

wie kann man as ausrechnen? also die formel dazu?

[Tannibi]

@dasdingdahinten

Wenn du alle Längen eines Körpers um
einen bestimmten Faktor f veränderst,
ändert sich das Volumen um den Faktor f³.

Wenn du alle Längen einer Fläche um
einen bestimmten Faktor f veränderst,
ändert sich die Fläche um den Faktor f².