Verrichtende Arbeit um einen Satelliten im Gravitationsfeld?
Wer könnte mir mit der Aufgabenstellung helfen? Danke im Voraus.
Berechnen sie die im Gravitationsfeld der Erde zu verrichtende Arbeit um einen Satelliten mit der Masse m=500 kg von der Erdoberfläche in einen Umlaufbahn in Höhe von 36.000 km zu befördern
1 Antwort
Tja früher war die Welt noch schön. einfach:
Epot=m*g*h
und die Welt war wunderbar. Die Erdbeschleunigung g ist aber gar nicht Konstant, den haben wir nur für kleine Unterschiede im Radius im Bezug zum Radius zum Erdmittelpunkt als Konstant angenommen. In Wahrheit sieht die Kraft anders aus:
F=G*m1*m2/r^2
Das ist die Fundamentale Beziehung zwischen Massen. Das Gravitationsgesetz beschreibt die Kraft mit der 2 Massen aufgrund ihrer Masse aufeinander einwirken. G ist die Gravitationskonstante mit rund 6,67*10^-11(N*m^2/kg^2).
g ergibt sich wenn wir r^2 mit dem Erdradius 6371km als Konstant annehmen. wir ignorieren damit kleine Änderungen von einigen Kilometern Höhe, einfach weil der Unterschied recht winzig ist. Für grobe Berechnungen reicht das völlig aus. Dann erhalten wir:
g=G*mE/r^2
Genau das dürfen wir jetzt aber nicht machen, denn wir verändern diesmal den Radius signifikant. Erkennbar beim Gravitationsgesetz eine Quadratische Funktion. Die Gravitationskraft wird Quadratisch zum Abstand kleiner.
Das heißt also, wir müssen für die Energie die Kraft über die Wegstrecke Integrieren:
Wpot=∫(s1->s2)F(s)*ds
Dafür setzen wir jetzt das Gravitationsgesetz ein:
Wpot=∫(s1->s2)(G*m1*m2/r^2)*dr
G*m1*m2 ziehen wir aus dem Integral, da diese Konstant sind:
Wpot=G*m1*m2 ∫(s1->s2) (1/r^2)*dr
So wie war das noch mit dem Integrieren? Stammfunktion bilden und obere Integrationsgrenze von der oberen abziehen:
Wpot=-1*G*m1*m2*[1-(1/r2)-1*(1/r1]
Wpot=-1*G*m1*m2*[(1/r2)-(1/r1)]
Werte einsetzen, ausrechnen fertig! Achte auf das Vorzeichen sonst gibt es Vorzeichenfehler ;)