Verhalten des Funktionsterms in einer ganzrationalen Funktion
Hallo, wie kann man an dem Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dessen Verhalten für x -> ± ∞ allgemein erkennen?
2 Antworten
Wenn x genügend gross ist (was bei unendlich der Fall ist), spielt nur der Koeffizient des höchsten Exponenten eine Rolle und ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist. Potenziere einfach unendlich oder minus unendlich mit dem höchsten Exponenten (ändert nur allenfalls bei minus unendlich das Vorzeichen) und dann kannst du am Koeffizienten das Vorzeichen des Grenzwerts ablesen.
Hallo abi97,
bei einer ganzrationalen Funktion beschreibt der Summand mit dem höchsten Exponenten sein Verhalten. Beispiel:
f(x) = -4x^5 + 3x^4 + x^3 +2x^2 - x +10
Nun können wir einfach x^5 ausklammern und erhalten:
f(x) ) x^5 * (-4 + 3/x + 1/x^2 + 2/x^3 - 1/x^4 + 10/x^5)
Für große x-Werte gehen nun die Summanden 3/x , 1/x^2 etc alle gegen Null, sodass nur noch
x^5 * (-4 + 0)
übrig bleibt.
Nun kannst du einfach plus und minus 1 einsetzen, um das Vorzeichen heruaszufinden, und schon hast du das Verhalten für x gegen plus minus Unendlich.
Fall x gegen - unendlich: -4 * (-1)^5 = 4 > 0, somit geht die Funktion gegen + unendlich.
Fall x gegen + unendlich: -4 * 1^5 = -4 < 0, somit geht die Funktion gegen - unendlich.
Gruß Mokinid
Nein muss man nicht. Ich habe es für dich gemacht und es dir zu begründen, wieso es bei einer ganzrationalen Funktion so ist. In einer Klausur/Test würde ich folgendes schreiben:
"Da bei einer ganzrationalen Funktion der führende Term das Verhalten für betragsmäßiggroße x-Werte beschreibt, und dieser hier -4x^5 ist, folgt ..."
Muss man denn ausklammern?