Vektoren, orthogonal zu a und b (bitte um Hilfe)?
kann mir einer da bitte helfen irgendwie komme ich da immer auf die falsche Lösung-.- die richtig Lösung wäre
x=t(4/14/-1) aber irgendwie komme ich nicht drauf wie ich an diese Lösung komme
Die Lösung wurde nicht angegeben die steht hinten im Buch
5 Antworten
Weg ohne das Kreuzprodukt:
Sei v=(x|y|z) ein Vektor der Menge O:={ v | v*a=0 und v*b=0) der orthogonalen Vektoren zu a und b.
Dann muss gelten:
x+4z=0 und 4x-y+2z=0
Die erste Gleichung umgestellt (x=-4z) und in die zweite eingesetzt liefert y=-14z.
v hat also die Gestalt (-4z|-14z|z). Die Komponenten hängen nur von z ab. Alle Vielfachen des Vektors (-4|-14|1) (man kann auch (4|14|-1) nehmen) sind also orthogonal zu a und b.
Wenn du das Kreuzprodukt nicht kennst oder nicht hattest, dann kannst du ein Gleichungssystem aufstellen und lösen.
Sei (x,y,z) der Vektor, der auf a und b orthogonal steht. Dann gilt
- (x,y,z) . (1, 0, 4) = 0, da (x,y,z) orthogonal auf a,
- (x,y,z) . (4,-1,2) = 0, da (x,y,z) orthogonal auf b.
Damit hast du die beiden Gleichungen:
x + 4 * z = 0
4*x - y + 2*z = 0
Erste Gleichung nach x auflösen und in die zweite einsetzen:
4(-4*z) - y + 2*z = 0
<=> -14*z - y = 0
Das nach y auflösen:
y = -14*x
Dann hast du als Ergebnis, in Abhängigkeit von z:
x = -4*z
y = -14*z
z = z
Damit ist die Menge aller Vektoren, die orthogonal auf a und b sind
z * (-4, -14, 1)
mit einem beliebigen Wert z.
die Aufgabe is ziemlich easy.
1) Möglichkeit über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Formel a kreuz b=c
Die Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) spannen ein Paralleleogramm auf,wo dann der Vektor c(cx/cy/cz) senkrecht (orthogonal) auf der Fläche steht ,auf den Vektoren a und b.
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) c(4/14/-1)
Den Vektor c kann man nun mit einem Skalar (Zahl) multiplizieren oder dividieren
Beispiel: 2*(4/14/-1)=8/28/-2 oder dividiert durch 2 ergibt (2/7/-1/2) usw.
ergibt unendlich viele Möglichkeiten
2) Möglichkeit über das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0
1) ax*cx+ay*cy+az*cz=0
2) bx*cx+by*cy+bz*cz=0
Wir haben hier 3 Unbekannte,cx,cy und cz und 2 Gleichungen,also unendlich viele Möglichkeiten.
Wir setzen cz=1
1) 1*cx+0*cy+4*1=0
2) 4*cx+(-1)*cy+2*1=0
ergibt
1) 1*cx+0*cy=-4
2) 4*cx-1*cy=-2
Lösung mit meinem GTR cx=-4 und cy=-14 und cz=1
c(-4/-14/1 multipliziert mit -1 ergibt (-1)*(-4/-14/1)=(4/14/-1)
Hallo,
kennst du das Kreuzprodukt?
Du bildest das Kreuzprodukt a x b , dann bekommst du als Ergebnis den Vektor (4/14/-1). Alle Vielfachen dieses Vektors sind dann senkrecht zu a und b.
Gruss
Hallo,
t*Kreuzprodukt von a und b.
Herzliche Grüße,
Willy