''Unendliche'' Perioden?
In Mathe haben wir immoment Periodische Zahlen, Brüche, Dezimalbrüche usw. Hab mich jetzt gefragt wie viel Ziffern eine Periode haben kann!
(1/17 hat zB. eine 16stellige Periode! 1/17=0,0588235294117647)"
Gibt es Brüche/Divisonen oder andere ''Zahlen'' die eine noch länger stlellige Periode haben?
Ps: Ich weiss schon das Perioden immer unendlich sind aber ich hoffe ihr wisst was ich meine!
5 Antworten
Du meinst mit dem unendlichen wahrscheinlich die Länge der Zahlenfolge, die sich wiederholt.
In der Theorie kann die beliebig lange (aber wahrscheinlich nicht unendlich lange!) sein.
Wenn ich mirs recht überlege, kann es gar nicht unendlich lang sein!
Denn dann kann es gar nicht periodisch sein! :-D
Kein Plan wie ich das jetzt anschaulich überlege, aber überleg dir mal Folgendes:
Du hast ne Zahl 0,... mit einer unendlich langen Periode hinter dem Komma;
dann frag dich mal, wo da dann die 1. Zahl der 2.Periode beginnen soll?
z.B. wenn du 0,(123) hast (123 soll hier der periosische Teil hinter dem Komma sein,
dann beginnt die 2. Periode bei der 4. Nachkommastelle (=Periodenlänge+1)
Periodenlänge ist hier 3
Nun zu deinem unendlichen Beispiel:
Da würde (wenn man mal annimmt dass es keine nichtperiodischen Nachkommastellen gibt)
wenn du die Periodenlänge p=unendlich hast, die 2. Periode an der Stelle
x=p+1 beginnen.
Beweisen, dass es keine unendliche Periode gibt, würde man über beweis mittels wiederspruch.
Angenommen es gibt eine unendliche periode mit periodenlänge p=unendlich.
dann gibt es auch eine Zahl x, an der die 2. Periode beginnt.
Diese ist logischerweise periodenlänge+1, also x=p+1.
Es gilt damit aber:
x<p<unendlich=x
(denn laut definiton von unendlich ist unendlich größer als jeden endliche zahl)
Das ist ein widerspruch!
Demnach muss deine Annahme falsch sein und es gibt demnach keine unendliche periode.
In der Realität wäre eine unendliche Periode sowas wie Pi, eine Zahl mit unendlich vielen nachkommastellen, die sich aber nie wiederholen! :-)
Frag ruhig wenn du etwas nicht verstanden hast, war ziemlich viel Theorie hier :-D
Mathematisch korrekt würde man auch niemals x=unendlich schreiben, sondern
x=Grenzwert für n gegen unendlich von (n)
Wobei auch das wieder Unsinn wäre, denn die Folge a_n=n ist divergent und deshalb hat sie selbstredend keinen Grenzwert...
Das mathematisch Korrekte überlass ich lieber anderen Leuten, mir gings primär nur ums Verständnis. :-)
Ok thx für die ausführliche Antwort! Hab aber alles verstanden. Ist mir jetzt auch aufgefallen dass das gar net geht!
Noch länger als unendlich? Von der Vorstellungskraft her würde das funktionieren, von der Wortdefinition her nicht. Unendlich bedeutet kein Ende. Wenn etwas kein definiertes Ende hat, kann nichts länger sein.
Eine unendliche Periode wäre keine Periode mehr oder?
Was du suchst sind irrationale Zahlen. Schau dir mal die Wurzel aus 2 an, oder Pi.
Es sollen also unendlich viele Zahlen kommen, und nach der "unendlichsten" soll es wieder von Vorne Anfangen? Das kann nicht funktionieren.
Nimm 1/n. Geht die Rechnung nicht auf, bleibt ein Rest. n hat n-1 Reste. spätestens bei der n-ten Division muss sich der Rest wiederholen. Die maximale Periodenlänge ist also n-1.
Dein Beweis sieht komisch aus. Weil du mit Unendlich rechnest wie mit einer reellen Zahl und wegen "Dann gibt es auch eine [reelle] Zahl x [...]". Diese Folgerung sieht falsch aus. x ist ja offensichtlich genauso unendlich wie p.
Eine unendlich lange Periode ergibt wenig Sinn, da stimme ich zu, weil man es dann einfach nicht periodisch nennen würde (?). Aber ich kenn mich damit nicht aus und würde nicht ausschließen, dass es sich instrumentalisieren lässt.