q-adische periodische Brüche umrechnen?
Hallo,
kann mir jemand erklären wie man q-adische periodische Brüche in ein anderes Zahlensystem umwandelt? Also zum Beispiel: 0,1(periode) zur Basis 2 in eine Dezimalzahl.
Liebe Grüße
1 Antwort
Erst einmal in eine Darstellung als rationale Zahl umwandeln, dann im anderen System wieder als p-adische Zahl darstellen.
Direkte Umwandlung geht nur, wenn eine der Basen eine Potenz der anderen ist (also vom 10er- ins 100er-System oder vom 8er- ins 2er-System).
Allgemein bei g-adischer Bruchdarstellung:
Wir nehmen den g-adischen Bruch
0, a_1 a_2 ... a_m b_1 b_2 ... b_n b_1 b_2 ... b_n ...
(also m Ziffern nicht-periodisch gefolgt von n Ziffern periodisch)
Dann ist dieser Bruch gleich
[a_1 ... a_m] * (g^n - 1) + [b_1 ... b_n]
-----------------------------------------
g^m (g^n - 1)
(wobei [a_1 ... a_m] die Zahl darstellt, die durch Hintereinanderschreiben der Ziffern a_1 bis a_m in g-adischer Schreibweise entsteht, [b_1 ... b_n] entsprechend)
Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen.
Aber so kommt doch beim Beispiel mit 0.1(per.) zu basis 2, das Ergebnis 0 raus oder? Denn [a_1 ... a_m] ist ja nicht vorhanden...
Oder wird der Teil in dem Fall weggelassen? Dann bekomme ich
(2^1 - 1) + [1]
1* (2^1-1)
raus. Das wäre ja im Endeffekt 2/1 oder halt 10/1.... Wäre das richtig?
In diesem Fall ist m = 0, [a_1 ... a_m] = 0 und g^m = 1. Also ist deine 2. Alternative richtig.
Berücksichtige aber, dass mit [a_1 ... a_m] dann als erster Summand im Zähler eine 0 steht. Das Ergebnis ist also 1.
(wie 0,999999... im Zehner- oder 0,444444... im Fünfersystem.)
Ok kannst du mir noch erklären wie man die Periode in einen dualbrach umschreibt?