Wenn die Funktion zum Ursprung Punktsymmetrisch ist, hat sie nur ungerade Potenzen von x. Da die Funktion eine 5. Grades Funktion ist, muss sie folgendermaßen aussehen:
y = ax^5 + bx^3 + cx
Die Ableitung dieser Funktion ist:
y' = 5ax^4 + 3bx^2+ c
Da die Tangente an den Punkt O (0,0) die Gerade t: y = 7x ist, muss die Ableitung an dieser Stelle 7 sein:
y'(0) = 5a * 0^4 + 3b * 0^2 + c = 0
y'(0) = 5a * 0^4 + 3b * 0^2 + c = 7
Daraus folgt, dass 3b = 7, also b = 7/3. Wir können jetzt die Ableitung an der Stelle x=1 berechnen, um die Steigung an diesem Punkt zu erhalten:
y'(1) = 5a * 1^4 + 3b * 1^2 = 5a + 3b
Da wir wissen, dass der Punkt P (1,0) ein Wendepunkt ist, muss die zweite Ableitung an dieser Stelle Null sein:
y''(1) = 20a * 1^3 + 6b * 1 = 20a + 6b = 0
Daraus folgt, dass 20a + 6b = 0, also 20a = -6b, also a = -3/10. Wir können jetzt die endgültige Funktionsgleichung aufschreiben:
y = -3/10 x^5 + 7/3 x^3
