Tangensbeziehung?

Wenn der tan(a)=m ist, was ist der tan(a/2) in Abhängigkeit von m? gibt es da eine Regel?

Answer 1

[Willibergi]

Zur Vereinfachung betrachten wir einen Definitionsbereich, in dem die Funktion tan bijektiv ist, ansonsten müssten wir uns mit Perioden herumschlagen.

Wir können direkt

$a = \arctan(m)$

und damit

$\tan\left(\dfrac{a}{2}\right) = \tan\left(\dfrac{\arctan(m)}{2}\right)$

schreiben.

Alternativ verwenden wir die Doppelwinkelformel

$\tan(2 \beta) = \dfrac{2\tan(\beta)}{1 - \tan^2(\beta)}$

und erhalten damit

$m = \tan(a) =\dfrac{2\tan\left(\dfrac a 2\right)}{1 - \tan^2\left(\dfrac a 2\right)}$

was elementar nach tan(a/2) umgeformt werden kann.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Halbwinkelformeln $\tan\left({\frac{x}{2}}\right) = \frac{\tan\left(x\right)}{1+\sqrt{1+\tan^{2}\left(x\right)}}, \ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ In einem anderen Bereich ist vor der Wurzel ein Minus.

Allgemein kann man aus dem Wert von tan(x) nicht eindeutig den Wert tan(x/2) bestimmen, z.B. tan(pi/3) = tan(4pi/3) aber tan(pi/6) ≠ tan(2pi/3).

Answer 3

[TBDRM]

tan(a) = m => arctan(m) = a => arctan(m) / 2 = a / 2 => tan(arctan(m) / 2) = tan(a / 2)

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)