Symmetrie?
Hallo!
Sind die folgenden Funktionen Symmetrisch?
3 Antworten
Hallo,
Funktionen, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind, nennt man gerade Funktionen.
Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind, nennt man ungerade Funktionen.
TheTechCrafter hat ja in seiner Antwort sehr schön erläutert, wie man das überprüfen kann.
Es gibt aber auch Funktionen, die achsensymmetrisch zu einer anderen Achse als der y-Achse sind, nämlich zu irgendeiner Parallele zur y-Achse durch den Punkt x=a.
In diesem Fall gilt: f(a-x)=f(a+x) bzw. f(2a-x)=f(x).
Hast Du zum Beispiel eine Parabel, die ihren Scheitelpunkt bei x=2 hat, ist sie achsensymmetrisch zur y-achsen-Parallele durch x=2 und es gilt f(2-x)=f(2+x).
Ist eine Funktion punktsymmertisch zu einem Punkt (a|b), gilt:
f(a-x)-b=-f(a+x)+b bzw. f(2a-x)-2b=-f(x).
Herzliche Grüße,
Willy
1 - Nicht symmetrisch, in keiner Art uns weise
2 - Punktsymmetrisch zum 0-Punkt / Ursprung
3 - Achsensymmetrisch zur y-Achse
4 - Punktsymmetrisch. // Aber nicht symmetrisch zum Ursprung
Prüfen kannst du das wie folgt:
Du nimmst dir die Funktion für den Graphen her, angenommen f(x).
Um die Achsensymmetrie zur y-Achse zu prüfen, muss folgendes erfüllt sein:
Was bedeutet, dass du dir irgendeinen x-Wert nimmst, z.B. x=1 oder x=2 usw.
und für f(x) einsetzt. Du nimmst genau den selben x-Wert und setzt ihn bei f(-x) ein. Musst aber dessen Vorzeichen umdrehen.
Beispiel:
und:
Für x = 2:
somit Achsensymmetrisch zur y-Achse.
(Wenn du etwas in dem Thema drinnen bist, musst du nicht mal einen Wert einsetzen, und merkst eigentlich relativ schnell, dass wenn du nur gerade Exponenten hast, die Funktion [eigentlich] immer Achsensymmetrisch [zur y-Achse] ist. z.B.:
)
Punktsymmetrie zum UrsprungUm die Punktsymmetrie zum Ursprung zu prüfen, muss folgendes erfüllt sein:
Du prüfst zuerst ob die Funktion Achsensymmetrisch [...] ist, falls nicht, klammerst du ein Minus (-) aus um zu prüfen ob es Punktsymmetrisch ist. Beispiel:
Lass uns f(-x) ausrechnen:
f(-x) ist nicht f(x) somit ist es schonmal nicht Achsensymmetrisch. Lass uns nun ein Minus (-) ausklammern, um zu prüfen, ob es punktsymmetrisch ist.
somit:
Also Punktsymmetrisch.
Alle Funktionen bis auf die erste sind auf den ersten blick entweder Punkt oder Achsensymmetrisch.
Gemäß Definition ist die vierte Funktion sicher nicht punktsymmetrisch. Aber ich habe tatsächlich das "entweder" für ein "weder" gelesen, sorry.
Die Definition von "Punktsymmetrisch" ist f(x) = -f(-x) für alle x. Das ist nur erfüllbar wenn f(0) = 0. Eine Symmetrie zu einem anderen Punkt muß definiert werden, siehe den Kommentar von @willy1729. Ich wollte mit meiner (leider gelöschten) Antwort darauf hinaus, dass der Nutzer genau die Definition die er kennt angibt.
Die Definition lautet üblicherweise "punktsymmetrisch zum Ursprung". Deshalb habe ich ja in meiner gelöschten Frage den Nutzer nach der Definition die er kennt gefragt.
Bei Polynomfunktionen ist das auch leicht an der Funktionsgleichung abzulesen.
Tauchen nur gerade Exponenten auf (wobei auch die 0 nicht vergessen werden darf), ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Beispiel: f(x)=3x^6-2x^2+5. Da die 5 auch als 5*x^0 geschrieben werden kann, gibt es mit 6, 2 und 0 nur gerade Exponenten der Variablen x.
Tauchen dagegen nur ungerade Exponenten auf (wobei dann natürlich kein von einer Variablen unabhängiger Term auftreten kann), handelt es sich um eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Beispiel: f(x)=-2x^3+4x. Das 4x kann auch als 4x^1 geschrieben werden.
Da die Exponenten 3 und 1 beide ungerade sind, ist die Punktsymmetrie zum Ursprung gegeben. Dagegen wäre 2x^3+4x+1 nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, weil die 1=1*x^0 eine gerade Potenz wäre und damit aus der Reihe tanzte. Allerdings wäre der Graph schon punktsymmetrisch, würde man ihn um den Punkt (0|1) um 180° drehen, sähe er genauso aus wie vorher.
Es ist übrigens leicht nachzuweisen, daß der Graph jeder Polynomfunktion dritten Grades punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.