Welche Symmetrie haben konstante Funktionen?
Habe dazu leider nichts im Internet gefunden und habe bald einen Vortrag darüber. Wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte. :)
4 Antworten
Konstante Funktionen (= ganzrationale Funktionen 0. Grades) sind grundsätzlich
- achsensymmetrisch zur y-Achse und
- punktsymmetrisch zum y-Achsenabschnitt (dem Punkt, an dem die Funktion die Funktion die y-Achse schneidet)
Die konstante Funktion f(x) = 5 ist somit beispielsweise achsensymmetrisch zur y-Achse (die Achse x = 0) und punktsymmetrisch zum Punkt (0 | 5).
An der graphischen Darstellung kann man es ganz schön erkennen:
LG
Es hilft sicherlich, wenn Du Dir genau ueberlegst, was Du mit "Symmetrie" eigentlich meinst. Ich nehme an, dass Du allgemein Funktionen R->R betrachtest, d.h. man kann eine Zahl einsetzen und es kommt wieder eine Zahl heraus. Der Begriff "Symmetrie" bezieht sich meistens auf den Graphen so einer Funktion, d.h. auf das (unendlich grosse) "Bild" das herauskaeme, wenn man das Schaubild komplett zeichnen wuerde.
Definitionen und Beispiele: Man kann Symmetrieeigenschaften einer Funktion (bzw. genauer die des Graphen) mithilfe von Gleichungen ausdruecken. Haeufig betrachtete Symmetrien waeren:
- Der Graph von f heisst punktsymmetrisch zum Punkt P(a|b), wenn f(a-x)-b=b-f(a+x) fuer jedes x gilt. Beispielsweise ist der Graph von f(x)=(x-6)x^2 punkysymmetrisch zum Punkt P(2|-16).
- Der Graph von f heisst punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn er punktsymmetrisch zum Punkt P(0|0) ist, d.h. wenn f(-x)=-f(x) fuer jedes x gilt. Beispielsweise ist der Graph von f(x)=x^3 punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Der Graph von f heisst achsensymmetrisch zur Achse x=a, wenn f(a+x)=f(a-x) fuer jedes x gilt. Beispielsweise ist der Graph von f(x)=(x-3)^4 achsensymmetrisch zur Achse x=3.
- Der Graph von f heisst achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn er achsensymmetrisch zur Achse x=0 ist, d.h. wenn f(x)=f(-x) fuer jedes x gilt. Beispielsweise ist der Graph von f(x)=x^2 achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Der Graph von f heisst translationssymmetrisch mit Periode t, wenn f(x+t)=f(x) fuer jedes t gilt. Beispielsweise ist der Graph von f(x)=(sin(x))^2 translationssymmetrisch mit Periode t=pi.
Symmetrien der konstanten Funktionen: Damit kannst Du Dir nun ueberlegen, welche Symmetrie die konstanten Funktionen f(x)=c besitzen (rechne selbst nach):
- Der Graph von f ist punktsymmetrisch zu jedem der Punkte P(a|c), d.h. fuer beliebiges a.
- Der Graph von f ist genau dann punktsymmetrisch zum Urspung, wenn c=0.
- Der Graph von f ist achsensymmetrisch zu jeder Achse x=a.
- Der Graph von f ist damit auch achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Der Graph von f ist translationssymmetrisch mit jeder Periode t.
Ausserdem ist die konstante Funktion f(x)=0 die einzige Funktion, die sowohl punktsymmetrisch zum Ursprung als auch achsensymmetrisch zur y-Achse ist, denn fuer so eine Funktion gilt ja f(x) = -f(-x) = -f(x), also muss f(x) = 0 sein.
Konstante Funktionen haben Achsensymmetrie, denn f(-x)=42=f(x) (42 als Wert der Konstante war natürlich nur ein Beispiel).
Eine konstante "Funktion" ist z.B. y=3 oder x=4 und hat eigentlich nichts mit einer normalen Funktion zu tun oder meinst du eine lineare Funktion, die konstant verläuft? Beide haben natürlich eine Symmetrieachse, die berechenbar ist oder wie in meinem 1. Fall die Koordinatenachsen sind!