Stochastik wie war das nochmal mit den Losen?
Hallo, obwohl vor 23 Jahren Stochastik mal mein Lieblingsmatheteilgebiet war, bin ich heute nach viel Vergessen mit folgendem Problem überfordert (damit schlägt sich jetzt mein Nachwuchs rum):
Unter 100 Losen sind 25 Gewinne. Ich ziehe 5 Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das mindestens 1 Los ein Gewinn ist? Hab schon ziemlich viele ähnliche Fragen im Netz durchgeschaut, nur dort ging es immer um genau 1 oder genau 2 Gewinne etc. Hier gehts aber darum, dass alle Wahrscheinlichkeiten von 1 bis 5 Gewinnen einbezogen werden müssten, oder? Kann mich jemand auf den richtigen Lösungsweg bringen?
4 Antworten
Das ist hier wohl Ziehen ohne Zurücklegen
Was es vereinfacht : Mindestens ein Gewinn heißt : 1, 2, 3, 4 oder 5 Gewinne . Man rechnet aber lieber mit :
W ( kein Gewinn + mindestens ein Gewinn ) = 1
Also ist hier W ( O = Null ) zu bestimmen.
Jetzt hat man noch das Problem des Zurücklegens. Nach dem ersten Zug sind ja nur noch 99 Lose, nach dem zweiten 98 .... vorhanden.
Zug 1
W ( Niete ) = 75/100
Zug 2
W ( Niete ) = 74 / 99 ..........dann 73/98 , , , 72/97 , , , 71/96
Macht ca 0.23 ( 23 % )
Mindestens ein Gewinn ist dann 77% .......... was bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 25% auch realistisch ist.
Über die Komplementärwahrscheinlichkeit.
Wie wahrscheinlich ist es, keinen Gewinn zu ziehen?
Das ist (3/4)^5, und mindestens einer: 1-(3/4)^5
Fast. Allerdings ändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Zug, denn es handelt sich um das Modell 'Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge'.
Beim ersten Zug ist die Wahrscheinlichkeit, kein Los zu ziehen, tatsächlich 75/100=0,75.
Beim zweiten Zug sind aber nur noch 99 Lose in der Urne und nur noch 74 Nieten.
Daher 47/99.
Du rechnest also 1-[(75*74*73*72*71)/(100*99*98*97*96)],
kürzt nach Herzenslust und erhältst am Ende
eine Wahrscheinlichkeit von 0,77 (gerundet).
Das gleiche Ergebnis bekommst Du über die Formel der hypergeometrischen Verteilung:
1-[(75 über 5)*(25 über 0)]/(100 über 5), denn von den fünf gekauften Losen müssen 5 aus der Gruppe der 75 Nieten sein, 0 aus der Gruppe der 25 Gewinne, während insgesamt 5 Lose aus 100 gezogen wurden.
Da dies die Gegenwahrscheinlichkeit zu 'mindestens ein Gewinn' ist, wird das Ganze, wie Du zu Recht geschrieben hast, von 1 abgezogen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das mit der hypergeometrischen Verteilung muss ich mir nochmal in Ruhe anschauen, um da wieder durchzusteigen. Aber ich entdecke grad den Spaß von damals wieder ;-)
Das berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit.
hier ist auch ein rechner im netz für die Hypergeo Verteilung
https://matheguru.com/stochastik/hypergeometrische-verteilung.html
PS : Einen für die Verallgemeinerte H G V suche ich immer noch .
Danke, erstmal. In die Richtung habe ich auch gedacht, aber stimmt die Rechnung so? Die Wahrscheinlichkeit beträgt ja nicht bei allen 5 Losen 3/4, sondern
75/100 x 74/99 x 73/98 x 72/97 x 71/96
?