Sind diese Punkte Ecken eines Dreiecks ABC?
Sind die Punkte A(1/0/-2), B(3/6/4) und C(-2/-9/-11) Ecken eines Dreiecks ABC?
Ich bin davon ausgegangen, dass die Vektoren a = AB, b = BC und c = CA alle zusammen addiert 0 ergeben müssen.
Dann habe ich Punkt B - A , C - B und A - C subtrahiert, um die Vektoren zu erlangen.
Schliesslich habe ich die Vektoren addiert, was tatsächlich 0 ergab, jedoch sagt das Lösungsbuch, dass Punkte A, B und C nicht zu einem Dreieck gehören.
Weiss jemand, was ich falsch gemacht habe und wie ich es sonst lösen könnte?
4 Antworten
Ich bin davon ausgegangen, dass die Vektoren a = AB, b = BC und c = CA alle zusammen addiert 0 ergeben müssen.
Richtig. Dann sind sie linear abhängig.
Aber um späteren Fehlern eventuell entgegenzuwirken: Wenn da nicht 0 rausgekommen wäre, könnten sie trotzdem linear abhängig voneinander sein. Wenn irgendeine Linearkombination 0 ergibt, sind sie linear abhängig. Es würde nicht reichen, nur die Trivialkombination zu betrachten.
Betrachte bspw. die Ortsvektoren x=(1,1,1), y=(2,2,2), z=(3,3,3) (als Spaltenvektoren). Dann ist x+y+z=(6,6,6), aber die Vektoren sind trotzdem offenbar linear abhängig, denn x+y-z=0.
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Zurück zur Aufgabe:
a=(2|6|6), b=(-5|-15|-15), c=(-3|-9|-9).
Wenn du jetzt versuchst, c aus a und b zu kombinieren, indem du ein LGS löst, wirst du feststellen, dass es sogar unendlich viele Möglichkeiten gibt, c als c=a*r+b*s zu schreiben, bspw. c=6r+3s oder c=12r+6s. Allgemein: c=a*(5n+1)+b*(2n+1), wobei n eine ganze Zahl ist.
Edit:
Wenn irgendeine Linearkombination außer der Kombination 0*a+0*b+0*c 0 ergibt [...]
Genau das ist nämlich die (gängige) Definition linearer Unabhängigkeit von Vektoren.
Die Summe der Vektoren AB+BC+CA wird IMMER den Nullvektor ergeben (wenn man von A nach B geht, dann von B nach C und von C wieder nach A: wo sollte man landen, wenn nicht wieder am Punkt A?).
Auch ist die Antwort etwas kurz gefasst: Natürlich können auch die hier gegebenen Punkte A, B, C als Eckpunkte eines Dreiecks gesehen werden - in diesem halt eines degenierierten mit der Fläche 0.
Was die schlampige Aufgabenstellung wohl bezweckt: Festzustellen, ob sich A, B und C auf einer Geraden befinden, oder nicht.
beliebige 3 Punkte ergeben mit addierten Vektoren 0.
ich würde folgendermaßen vorgehen:
Du musst rausfinden, ob die 3 Vektoren auf einer Ebene sind.
Bilde dazu das Kreuzprodukt zu 2 der Vektoren. Dann prüfst du, ob der 3. zu diesem Kreuzprodukt orthogonal ist oder nicht. Ist das der Fall, dann ist es ein Dreieck, sonst nicht.
natürlich muss du wie mein Vorredner erwähnte, breachten, dass die Punkte nicht auf einer Linie liegen.
Fragen gerne als Kommentar.
Was nicht passieren darf ist ja, dass die Vektoren linear abhängig sind, denn dann würden sie auf einer Linie (vom Ursprung [0,0] aus) liegen und das Dreieck hätte gar keine Fläche.
Das ist aber der Fall.
Es gibt hunderte Möglichkeiten das zu überprüfen. Du machst das möglicherweise am ehesten mit einem Gleichungssystem?
Hier einmal die Grafik zum Veranschaulichen, falls es dich interessiert, was ich mit der Linie meine.
Wie auch Meroxas richtig sagte, die lineare Abhängigkeit lässt sich sehr einfach durch ein Beispiel zeigen, wenn du eines findest. Hier wäre das z.B.: C = 5/2A-3/2B
Denn: 5/2[1, 0, -2] - 3/2[3, 6, 4] = [5/2 - 9/2, 0 - 9, -10/2 - 12/2] = [-2,-9,-11]
Hier benutzen wir die erste Definition von Wikipedia.