also meine frage ist kann mir jemand bei dieser mathe aufgabe helfen : Das Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt 20cm² ist dem Dreieck A´B´C´ ähnlich. Der Seitenl?
Das Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt 20cm² ist dem Dreieck A´B´C´ ähnlich. Der Seitenlänge a= 4 cm im Dreieck ABC entspricht a´ = 6 cm im Dreieck A´B´C´. Berechne den flächeninhalt des Dreiecks A´B´C´.
2 Antworten
Der Fächeninhalt wäre bei Seite a
A = (a * ha) / 2 ha ist die Höhe auf der Seite a.
Sie ist hier leicht auszurechnen, da a und A bekannt sind.
Ähnlichkeit heißt nun, dass Längen auf die gleiche Weise gedehnt werden müssen. Bei der Seite a geht es von 4 auf 6 für a'.
Dann hast du a mit 1,5 multipliziert.
Das musst du dann auch mit ha machen
und schließlich wieder die obige Formel anwenden.
Beachte: die neue Fläche ist nicht das 1,5-fache der alten, weil du 1,5² hineinrechnest, - wahrscheinlich ohne dass du es gemerkt hast!
Wenn du das Seitenlängenverhältnis der Seiten a und a' kennst, dann kannst du daraus schlussfolgern, wie sich der Flächeninhalt ändert. Wichtig in diesem Zusammenhang ist, dass für die Seitenlängenverhältnisse in deiner Aufgabe gilt: k = a' / a = b' / b = c' / c. Die Größe k nennt man dabei den Streckungsfaktor oder auch Proportionalitätsfaktor. Dieser ist für a = 4 cm und a' = 6 cm: k = a' / a = 6 cm / 4 cm = 6 / 4 = 3 /2
Der Flächeninhalt ändert sich dann so, dass man den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit dem Quadrat des Streckungsfaktors multipliziert. Warum ist das so? Das liegt an der Formel A = a * b * sin(gamma). Wegen a' = k * a und b' = b * k gilt
A' = a' * b' * sin(gamma) = a * k * b * k * sin(gamma) = k^2 * a * b * sin(gamma) = k^2 * A.
Für die Flächen der zueinander ähnlichen Dreiecke ABC und A'B'C' gilt also wegen gleich bleibender Winkel:
A' = k^2 * A,
also A' = ( 3 / 2 )^2 * 20 cm^2
A' = ( 9 / 4 ) * 20 cm^2 = 9 * 5 cm^2 = 45 cm^2
Du musst die Formel A = a * b * sin(gamma) nicht kennen, ich habe sie nur verwendet, um meine Aussage mathematisch zu begründen.
Merke dir einfach: Wenn der Streckungsfaktor k zweier zueinander ähnlicher Dreiecke ABC und A'B'C' bekannt ist, dann gilt für die Flächeninhalte: A_neu = k^2 * A_alt , wobei A_alt die Fläche des Dreiecks ABC und A_neu die Fläche des Dreiecks A'B'C' ist. Die Verwendung von A und A' für die Flächen war etwas missverständlich, das gebe ich zu. Der Streckungsfaktor k errechnet sich stets als k = a' / a bzw. k = b' / b bzw. k = c' / c.
Könntest du das vielleicht etwas leichter erklären ?